Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 80 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 3 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 20 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 180 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 20 kgF = 180 Nθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 3 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 18 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,4 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 40° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,7 kg на лёгкой нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 12 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,7 kgr = 1,5 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 2 m вдоль плоскости.

θ = 25°μ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 65 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 2 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 65 Nθ = 30°μ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 14 kg, движущийся горизонтально со скоростью 23 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 6 kg продолжает движение вперёд со скоростью 42 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 8 kg (положительна в исходном направлении).

M = 14 kgu = 23 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,4 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 4 kgL = 1,4 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 320 N·m при 2000 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 320 N·mn = 2000 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 9,5 m вдоль склона.

θ = 40°s = 9,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с 24 зубьями и модулем 2,5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 15 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (12 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (25 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (25 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 25C = 18D = 25

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1 kg на пружине с k = 240 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1 s (со знаком).

m = 1 kgk = 240 N/mA = 8 cmt = 1 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,3 s и амплитудой 12 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 12 cm в точку со смещением 10,8 cm?

T = 3,3 sA = 12 cmx = 10,8 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 15 mm через 5 циклов следует пик 4,3 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 4,3 mmn = 5

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 12 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,419 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/6,5 = 3,419 s

Ответ

t = 3,419 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 372,2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 24·3 = 72 m/s

h₁ = ½·24·3² = 108 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9,81) = 264,2 m

h_max = 108 + 264,2 = 372,2 m

Ответ

h_max = 372,2 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,774 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 180·sin 20° = 134,6 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 169,1 − 33,66

a = 135,5/20 = 6,774 m/s²

Ответ

a = 6,774 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 0,6605 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·6,813) = 0,6605 m

Ответ

d = 0,6605 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 102,8 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24,51 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·24,51/9,81 = 4,998 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,57·4,998 = 102,8 m

Ответ

x = 102,8 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 13,26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 18·sin 45° = 12,73 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,73²/(2·9,81) = 8,257 m

Высота над землёй

H = 5 + 8,257 = 13,26 m

Ответ

H = 13,26 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,455 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,4·sin 40° = 0,2571 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,2571·9,81·tan 40°) = 1,455 m/s

Ответ

v = 1,455 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 32,86 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·1,5 = 85,14 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,7·85,14/1,5 − 0,7·9,81 = 32,86 N

Ответ

T_top = 32,86 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 2,432 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,4226 − 0,3·0,9063)) = 2,432 m/s

Ответ

v = 2,432 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,223 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 6,372 N

Работа и энергия

½mv² = (65 − 30,9)·2 = 68,21 J

v = √(2·68,21/5) = 5,223 m/s

Ответ

v = 5,223 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 8,75 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 14·23 = 322 kg·m/s

Импульс после удара

322 = 6·42 + 8·v′₂

v′₂ = (322 − 252)/8 = 8,75 m/s

Ответ

v′₂ = 8,75 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1017 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 40°) = 0,3275 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,3275) = 2,535 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,01·2,535/0,01 = 1017 m/s

Ответ

v = 1017 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 67,02 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Мощность

P = T·ω = 320·209,4 = 67021 W = 67,02 kW

Ответ

P = 67,02 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 8,479 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Высота спуска

h = s·sin θ = 9,5·sin 40° = 6,106 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·6,106/1,667) = 8,479 m/s

Ответ

v = 8,479 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 3316 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·99,47/0,06 = 3316 N

Ответ

F_t = 3316 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1002 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 2900·12/25 = 1392 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1392·18/25 = 1002 rpm

Ответ

n_out = 1002 rpm

общее передаточное отношение = 2,894 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: x = −7,814 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(240/1) = 15,49 rad/s

ω·t = 15,49·1 = 15,49 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(15,49) = −7,814 cm

Ответ

x = −7,814 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,2369 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,3 = 1,904 rad/s

Выразите время

0,9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,9) = 0,451 rad

t = 0,451/1,904 = 0,2369 s

Ответ

t = 0,2369 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,03974

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/5)·ln(15/4,3) = 0,2499

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2499/√(39,48 + 0,06244) = 0,03974

Ответ

ζ = 0,03974

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 10,43 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/12 → k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10,43 kN/m

Ответ

k_eq = 10,43 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics