Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 30 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 120 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 30 kgF = 120 Nθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9 kgm₂ = 9 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 27 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 40° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 1,2 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 36 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 7,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 1,5 kgh = 36 mR = 7,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 25°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 1 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 12 m/sv_out = 6 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 25 kg·m² вращается с частотой 800 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 150 N·m. За какое время t он остановится?

I = 25 kg·m²n = 800 rpmT_b = 150 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 36 kg, радиус 0,15 m) свободно вращается с частотой 600 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 6 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?

M_disc = 36 kgM_ring = 6 kgR = 0,15 mn₁ = 600 rpm

ΔE = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 1 вращается с частотой 1440 rpm и приводит червячное колесо с 40 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 1N_w = 40n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (15 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (18 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (36 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 18C = 25D = 36

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,7 kgk = 370 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 2 kg опирается на пружину жёсткостью 8 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 40 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 2 kgk = 8 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 15 kN/m, у нижней k₂ = 25 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 24,11 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4) = 24,11 m

Ответ

s = 24,11 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,892 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·15))/9,81 = 2,892 s

Ответ

t = 2,892 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,254 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 120·sin 40° = 217,2 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 91,93 − 54,29

a = 37,63/30 = 1,254 m/s²

Ответ

a = 1,254 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,075 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 30,2 N

μ·m₁·g·cos θ = 20,74 N

Ускорение системы

a = (88,29 − 30,2 − 20,74)/18 = 2,075 m/s²

Ответ

a = 2,075 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,231 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·10,94/9,81 = 2,231 s

Ответ

t = 2,231 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 70,35 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 27·sin 40° = 17,36 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 17,36²/(2·9,81) = 15,35 m

Высота над землёй

H = 55 + 15,35 = 70,35 m

Ответ

H = 70,35 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 2,52 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,2·sin 40° = 0,7713 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,7713·9,81·tan 40°) = 2,52 m/s

Ответ

v = 2,52 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 67,69 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(36 − 2·7,5) = 412 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 1,5·412/7,5 − 14,71 = 67,69 N

Ответ

N_top = 67,69 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 28,01 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,9063 = 4,445 N

F = μN = 0,35·4,445 = 1,556 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,556·18 = 28,01 J

Ответ

W_f = 28,01 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,084 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1 − 0,1·1,5) = 8,338 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,85) = 4,084 m/s

Ответ

v = 4,084 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 4,846 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 1,5)/(5 + 1,5)·9 = 4,846 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1,5)·9 = 13,85 m/s

Ответ

v′₁ = 4,846 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 9 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(6 + 12) = 9 N·s

Ответ

J = 9 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 13,96 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·800/60 = 83,78 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 150/25 = 6 rad/s²

t = ω/α = 83,78/6 = 13,96 s

Ответ

t = 13,96 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ΔE = 199,9 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·36·0,15² = 0,405 kg·m²

I₂ = 6·0,15² = 0,135 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 600·0,405/0,54 = 450 rpm

Кинетическая энергия до и после

E₁ = ½·0,405·62,83² = 799,4 J

E₂ = ½·0,54·47,12² = 599,6 J

ΔE = 799,4 − 599,6 = 199,9 J

Ответ

ΔE = 199,9 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 36 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·1/40 = 36 rpm

Ответ

n_w = 36 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1736 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·15/18 = 2500 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 2500·25/36 = 1736 rpm

Ответ

n_out = 1736 rpm

общее передаточное отношение = 1,728 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,159 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m

Ответ

L = 0,159 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 52,86 m/s²

Угловая частота

ω = √(370/0,7) = 22,99 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,1·22,99² = 52,86 m/s²

Ответ

a_max = 52,86 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1581

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·2) = 253 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 40/253 = 0,1581

Ответ

ζ = 0,1581

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 9,375 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/25 → k_eq = 15·25/(15 + 25) = 9,375 kN/m

Ответ

k_eq = 9,375 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics