Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 28 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 28 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 32 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 32 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 55° к горизонту, и он падает на расстоянии 95 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 55°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 20 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 20 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 100 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 100 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 40 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 40 mθ = 20°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 4 m по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 15°μ = 0,15d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 6,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2,5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 6,5 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 20 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1700 kg, едущим на север со скоростью 22 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 2000 kgv₁ = 20 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 22 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 7 kg и длиной 2,5 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 1 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 7 kgL = 2,5 mm_ball = 1 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,15 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 6,5 m вдоль склона.

θ = 30°s = 6,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 4 вращается с частотой 960 rpm и приводит червячное колесо с 36 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 4N_w = 36n = 960 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 15 kW с частотой 1440 rpm приводит колесо A (20 зубьев), которое зацепляется с колесом B (45 зубьев). Колесо C (15 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (36 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 97%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 15 kWn_in = 1440 rpmA = 20B = 45C = 15D = 36η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,2 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 280 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,2 kgk = 280 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 150 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 4650 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 150 kgk = 100 kN/mc = 4650 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 5 kN/m, у нижней k₂ = 15 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 285,1 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/5,5 = 10,18 s

Путь

d = v·t = 28·10,18 = 285,1 m

Ответ

d = 285,1 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 56 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 7,991 s

Активный участок

v₁ = 32·1 = 32 m/s

h₁ = ½·32·1² = 16 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (32 + √(32² + 2·9,81·16))/9,81 = 6,991 s

t = 1 + 6,991 = 7,991 s

Ответ

t = 7,991 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,206 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Ответ

a = 3,206 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,018 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 14,71)/13 = 3,018 m/s²

Ответ

a = 3,018 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 31,49 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 110°) = 31,49 m/s

Ответ

v₀ = 31,49 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 53,29 °

Разложите начальную скорость

v_x = 20·cos 20° = 18,79 m/s

v_y0 = 20·sin 20° = 6,84 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(6,84² + 2·9,81·30) = 25,21 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 25,21/18,79 → α = 53,29°

Ответ

α = 53,29°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 31,32 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·100) = 31,32 m/s

Ответ

v_max = 31,32 m/s

(112,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 13,75 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(40·9,81·0,436/0,9055) = 13,75 m/s

Ответ

v_max = 13,75 m/s

(49,48 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 11,37 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,9659 = 18,95 N

F = μN = 0,15·18,95 = 2,843 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,843·4 = 11,37 J

Ответ

W_f = 11,37 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 19,62 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,5 − 5) = 29,43 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·29,43/2,5 − 98,1 = 19,62 N

Ответ

N = 19,62 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 4,8 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·8 = 4,8 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·8 = 12,8 m/s

Ответ

v′₁ = 4,8 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 43,08 °

Составляющие импульса

p_x = 2000·20 = 40000 kg·m/s

p_y = 1700·22 = 37400 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,935 → θ = 43,08°

Ответ

θ = 43,08°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 8,137 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7·9,81·1,25 + 1·9,81·2,5 = 110,4 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 14,58 + 6,25 = 20,83 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 110,4 → ω = √(2·110,4/20,83) = 3,255 rad/s

v = ω·L = 3,255·2,5 = 8,137 m/s

Ответ

v = 8,137 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 41,24 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 6,5·sin 30° = 3,25 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·3,25/1,667) = 6,185 m/s

ω = v/r = 6,185/0,15 = 41,24 rad/s

Ответ

ω = 41,24 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 106,7 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 960·4/36 = 106,7 rpm

Ответ

n_w = 106,7 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 505,4 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1440·(20/45)·(15/36) = 266,7 rpm

ω_out = 2π·266,7/60 = 27,93 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 15000·0,97² = 14114 W

T_out = P_out/ω_out = 14114/27,93 = 505,4 N·m

Ответ

T_out = 505,4 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,203 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,2/2π)² = 1,203 m

Ответ

L = 1,203 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 14,88 m/s²

Угловая частота

ω = √(280/3,2) = 9,354 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,17·9,354² = 14,88 m/s²

Ответ

a_max = 14,88 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,6003

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·150) = 7746 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 4650/7746 = 0,6003

Ответ

ζ = 0,6003

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,541 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/15 → k_eq = 5·15/(5 + 15) = 3,75 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(3750/40) = 9,682 rad/s

f_n = 9,682/(2π) = 1,541 Hz

Ответ

f_n = 1,541 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics