Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 8 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 7 m/s и останавливается через 17 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 7 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 8,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 8,5 m/sθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 33 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 2 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 15° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 2 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на лёгкой нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,6 kgr = 0,8 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 2 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,2k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 12 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1 kgh = 12 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,4 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,4 kgv_in = 12 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Вал передаёт 76 kW при 1100 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.

P = 76 kWn = 1100 rpm

T = N·m

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 8,5 kg и длиной 1,6 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 15 g, летящая горизонтально со скоростью 100 m/s, попадает в стержень на 1,04 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.

M = 8,5 kgL = 1,6 mm = 15 gv = 100 m/sd = 1,04 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой 960 rpm приводит червяк с числом заходов 2. Червячное колесо имеет 40 зубьев, КПД передачи 70%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 40n = 960 rpmP = 2,2 kWη = 70%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (12 зубьев) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (30 зубьев). Колесо C (20 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 1000 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 3000 rpmA = 12B = 30C = 20n_out = 1000 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,3 m имеет период малых колебаний 2,41 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,3 mT = 2,41 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 8 g, летящая со скоростью 350 m/s, попадает в брусок массой 4 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1500 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 8 gv = 350 m/sM = 4 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 15 kg опирается на пружину жёсткостью 20 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 660 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 15 kgk = 20 kN/mc = 660 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 15 kN/m и k₂ = 20 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 25 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Ответ

s = 25 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,31 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,31 s

Ответ

t = 2,31 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1469

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·17) = 1,441 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,441/9,81 = 0,1469

Ответ

μ = 0,1469

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 7,625 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,15·cos 20°) = 4,738 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·4,738) = 7,625 m

Ответ

d = 7,625 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 124,1 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 35° = 29,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 35° = 20,65 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·20,65/9,81 = 4,21 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 29,49·4,21 = 124,1 m

Ответ

x = 124,1 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 47,6 m/s

Разложите начальную скорость

v_x = 33·cos 35° = 27,03 m/s

v_y0 = 33·sin 35° = 18,93 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(18,93² + 2·9,81·60) = 39,19 m/s

Скорость при ударе

v = √(27,03² + 39,19²) = 47,6 m/s

Ответ

v = 47,6 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v = 1,166 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 2·sin 15° = 0,5176 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5176·9,81·tan 15°) = 1,166 m/s

Ответ

v = 1,166 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 12,76 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·0,8 = 24,86 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·24,86/0,8 − 0,6·9,81 = 12,76 N

Ответ

T_top = 12,76 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 4,713 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,6428 − 0,1·0,766)) = 4,713 m/s

Ответ

v = 4,713 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 24,26 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2 − 0,2·1) = 44,15 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 44,15 → x = √(2·44,15/1500) = 0,2426 m = 24,26 cm

Ответ

x = 24,26 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 155 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,12) = 1,534 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 1)·1,534/0,01 = 155 m/s

Ответ

v = 155 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 620 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,4·(19 + 12) = 12,4 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 12,4/0,02 = 620 N

Ответ

F_avg = 620 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 659,8 N·m

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1100/60 = 115,2 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 76000/115,2 = 659,8 N·m

Ответ

T = 659,8 N·m

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 0,2146 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·1,6²/3 + 0,015·1,04² = 7,27 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,015·100·1,04/7,27 = 0,2146 rad/s

Ответ

ω = 0,2146 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 306,4 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 960·2/40 = 48 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·48/60 = 5,027 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·2200/5,027 = 306,4 N·m

Ответ

T_w = 306,4 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 24

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 3000·12/30 = 1200 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·1200/1000 = 24

Ответ

N_D = 24

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,836 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/2,41² = 8,836 m/s²

Ответ

g = 8,836 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 3,611 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,008·350/4,008 = 0,6986 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/4,008) = 19,35 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,6986/19,35 = 0,03611 m = 3,611 cm

Ответ

A = 3,611 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,6025

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·15) = 1095 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 660/1095 = 0,6025

Ответ

ζ = 0,6025

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,985 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 15 + 20 = 35 kN/m

k_eq = 35·10/(35 + 10) = 7,778 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(7778/50) = 12,47 rad/s

f_n = 12,47/(2π) = 1,985 Hz

Ответ

f_n = 1,985 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics