Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 22 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 22 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 145 N тянет передний брусок массой 6 kg; брусок массой 4 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgF = 145 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 69 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 30 m/sθ = 55°x = 69 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 10 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 10 m/sθ = 30°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1800 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 600 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 4,5 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 28 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 28 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель разгоняет маховик с моментом инерции 17,5 kg·m² из состояния покоя до 3000 rpm за 43 s. Пренебрегая потерями, найдите среднюю мощность P_avg, которую он развивает, в kW.

I = 17,5 kg·m²n = 3000 rpmt = 43 s

P_avg = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 25° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 10 m вдоль склона.

θ = 25°s = 10 mI = m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с 20 зубьями и модулем 2,5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 4 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 24 зубьев, а каждый сателлит — 20 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 600 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 24N_p = 20n_s = 600 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,5 m имеет период малых колебаний 2,3 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,5 mT = 2,3 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,5 kg на пружине с k = 60 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,5 kgk = 60 N/mA = 6 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 250 kg на пружине жёсткостью 40 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,3. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 250 kgk = 40 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на пружине k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 12 kN/m и k₂ = 12 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 193,6 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/5 = 8,8 s

Путь

d = v·t = 22·8,8 = 193,6 m

Ответ

d = 193,6 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 44 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 4,131 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·30))/9,81 = 4,131 s

Ответ

t = 4,131 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,055 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 30° − 0,1·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,0866) = 4,055 m/s²

Ответ

a = 4,055 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 11,56 m/s²

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 29,43)/10 = 11,56 m/s²

Ответ

a = 11,56 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 19,67 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 30·cos 55° = 17,21 m/s

t = x/v_x = 69/17,21 = 4,01 s

Высота в этот момент

y = 24,57·4,01 − ½·9,81·4,01² = 19,67 m

Ответ

y = 19,67 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 67,03 °

Разложите начальную скорость

v_x = 10·cos 30° = 8,66 m/s

v_y0 = 10·sin 30° = 5 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(5² + 2·9,81·20) = 20,43 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 20,43/8,66 → α = 67,03°

Ответ

α = 67,03°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·45) = 14,86 m/s

Ответ

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,431 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Ответ

v_min = 3,431 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: P = 15,24 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924,1 N

F = 924,1 + 600 = 1524 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1524·10 = 15241 W = 15,24 kW

Ответ

P = 15,24 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,004 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,5 − 2) = 49,05 m²/s²

v = 7,004 m/s

Ответ

v = 7,004 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 5,833 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·7 = −1,167 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·7 = 5,833 m/s

Ответ

v′₂ = 5,833 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 18,5 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(9 + 28) = 18,5 N·s

Ответ

J = 18,5 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P_avg = 20,08 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Энергия

E = ½·I·ω² = ½·17,5·314,2² = 863590 J

Средняя мощность

P_avg = E/t = 863590/43 = 20083 W = 20,08 kW

Ответ

P_avg = 20,08 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 6,439 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 10·sin 25° = 4,226 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·4,226/2) = 6,439 m/s

Ответ

v = 6,439 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 1592 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2,5·20 = 50 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·39,79/0,05 = 1592 N

Ответ

F_t = 1592 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 225 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·24/64 = −225 rpm

|n_r| = 225 rpm

Ответ

n_r = 225 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,731 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/2,3² = 3,731 m/s²

Ответ

g = 3,731 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,108 J

Угловая частота

ω = √(60/2,5) = 4,899 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·60·0,06² = 0,108 J

Ответ

E = 0,108 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 1,92 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(40000/250) = 12,65 rad/s

f_n = 12,65/(2π) = 2,013 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,013·√(1 − 0,3²) = 1,92 Hz

Ответ

f_d = 1,92 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 7,002 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 12 + 12 = 24 kN/m

k_eq = 24·100/(24 + 100) = 19,35 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(19355/10) = 43,99 rad/s

f_n = 43,99/(2π) = 7,002 Hz

Ответ

f_n = 7,002 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics