Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 120 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 30 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 35 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 8 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,3d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 2,5 mL = 4 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 7 kg, движущийся горизонтально со скоростью 5 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 61 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 7 kgu = 5 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,45 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 1900 N·m при 600 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 1900 N·mn = 600 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 20 kg, радиус 0,25 m) свободно вращается с частотой 100 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 19 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?

M_disc = 20 kgM_ring = 19 kgR = 0,25 mn₁ = 100 rpm

ΔE = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 20, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 72. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 1,1 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 72η = 95%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (15 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (16 зуб.). Колесо C (30 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (48 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 16C = 30D = 48

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,7 kg на пружине с k = 140 N/m оттягивают на 10 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,35 s (со знаком).

m = 3,7 kgk = 140 N/mA = 10 cmt = 1,35 s

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 80 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 19 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 13 cm от положения равновесия.

k = 80 N/mA = 19 cmx = 13 cm

U = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 150 kg на пружине жёсткостью 40 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,7. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 150 kgk = 40 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 30 kN/m, у нижней k₂ = 100 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 4,444 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/7,5 = 4,444 s

Ответ

t = 4,444 s

2.Кинематика

Ответ: t = 2,774 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,774 s

Ответ

t = 2,774 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,421 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Ответ

a = 4,421 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 10,79 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 1,472)/4,5 = 6,213 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,213 + 1,472 = 10,79 N

Ответ

T = 10,79 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,874 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 30° = 32,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 30° = 19 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·19/9,81 = 3,874 s

Ответ

t = 3,874 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 57,94 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 30·sin 45° = 21,21 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 21,21²/(2·9,81) = 22,94 m

Высота над землёй

H = 35 + 22,94 = 57,94 m

Ответ

H = 57,94 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 13,1 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·35) = 13,1 m/s

Ответ

v_max = 13,1 m/s (47,17 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,215 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Ответ

v_min = 2,215 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,173 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·8·(0,5736 − 0,3·0,8192)) = 7,173 m/s

Ответ

v = 7,173 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 27,12 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(2,5 − 0,25·4) = 147,2 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 147,2 → x = √(2·147,2/4000) = 0,2712 m = 27,12 cm

Ответ

x = 27,12 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −4,333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 7·5 = 35 kg·m/s

Импульс после удара

35 = 1·61 + 6·v′₂

v′₂ = (35 − 61)/6 = −4,333 m/s

Ответ

v′₂ = −4,333 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12,15 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(12 + 15) = 12,15 N·s

Ответ

J = 12,15 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 119,4 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Мощность

P = T·ω = 1900·62,83 = 119381 W = 119,4 kW

Ответ

P = 119,4 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ΔE = 22,45 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменты инерции

I₁ = ½·20·0,25² = 0,625 kg·m²

I₂ = 19·0,25² = 1,188 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 100·0,625/1,813 = 34,48 rpm

Кинетическая энергия до и после

E₁ = ½·0,625·10,47² = 34,27 J

E₂ = ½·1,813·3,611² = 11,82 J

ΔE = 34,27 − 11,82 = 22,45 J

Ответ

ΔE = 22,45 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 24,78 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/151,8 = 7,244 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 7,244·72/20·0,95 = 24,78 N·m

Ответ

T₂ = 24,78 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 878,9 rpm

Первая ступень

n_B = 1500·15/16 = 1406 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1406·30/48 = 878,9 rpm

Ответ

n_out = 878,9 rpm

общее передаточное отношение = 1,707 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,5538 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(140/3,7) = 6,151 rad/s

ω·t = 6,151·1,35 = 8,304 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,1·6,151·sin(8,304) = −0,5538 m/s

Ответ

v = −0,5538 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,676 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·80·0,19² = 1,444 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·80·0,13² = 0,676 J

Ответ

U = 0,676 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 1,856 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(40000/150) = 16,33 rad/s

f_n = 16,33/(2π) = 2,599 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,599·√(1 − 0,7²) = 1,856 Hz

Ответ

f_d = 1,856 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,406 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/100 → k_eq = 30·100/(30 + 100) = 23,08 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(23077/20) = 33,97 rad/s

f_n = 33,97/(2π) = 5,406 Hz

Ответ

f_n = 5,406 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics