Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 60 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 10 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 22 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 65 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 65 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 40 m имеет вираж с уклоном 15°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 40 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,25 kg, сжимают пружину на 6 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,25 kgk = 500 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 3,5 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 30 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,6 kgv_in = 30 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 5,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 4 kg и радиусом 0,5 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угловое ускорение α блока.

m = 5,5 kgM = 4 kgR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар массой 8 kg катится без проскальзывания со скоростью 9 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 8 kgv = 9 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 180 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 4 mm и передаточным отношением 2 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 180 mmm = 4 mmi = 2

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (25 зубьев), которое зацепляется с колесом B (45 зубьев). Колесо C (30 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (60 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 97%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1450 rpmA = 25B = 45C = 30D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1 kg на пружине с k = 130 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 1 kgk = 130 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,8 s и амплитудой 16 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 16 cm в точку со смещением 9,6 cm?

T = 0,8 sA = 16 cmx = 9,6 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 8 kg опирается на пружину жёсткостью 5 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 30 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 8 kgk = 5 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 60 kN/m и k₂ = 80 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 19,84 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·7) = 19,84 m

Ответ

s = 19,84 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 51,47 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9,81) = 11,47 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 11,47 = 51,47 m

Ответ

h_max = 51,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 15,42 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 4,905)/7 = 2,102 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·2,102 + 4,905 = 15,42 N

Ответ

T = 15,42 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,065 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5,472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15,04 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·15,04/9,81 = 3,065 s

Ответ

t = 3,065 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 48,12 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 22·sin 35° = 12,62 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,62²/(2·9,81) = 8,116 m

Высота над землёй

H = 40 + 8,116 = 48,12 m

Ответ

H = 48,12 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,56 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·65) = 19,56 m/s

Ответ

v_max = 19,56 m/s (70,42 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 6,67 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(40·9,81·0,1139/1,005) = 6,67 m/s

Ответ

v_min = 6,67 m/s

(24,01 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,367 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·500·0,06² = 0,9 J

Высота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/2,453 = 0,367 m

Ответ

h = 0,367 m

10.Работа и энергия

Ответ: N = 9,81 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3,5 − 2) = 29,43 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·29,43/1 − 4,905 = 9,81 N

Ответ

N = 9,81 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·2 = −1 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·2 = 1 m/s

Ответ

v′₁ = −1 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 27 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(15 + 30) = 27 N·s

Ответ

J = 27 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 14,39 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 5,5·9,81/(5,5 + 2) = 7,194 m/s²

Угловое ускорение

α = a/R = 7,194/0,5 = 14,39 rad/s²

Ответ

α = 14,39 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 40 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·8·9² = 324 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·324 = 216 J

Доля вращения

p = 216/540·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

Ответ

p = 40 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 60

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/4 = 90

Делим по передаточному отношению

N₁ = 90/(1 + 2) = 30

N₂ = 2·30 = 60

Ответ

N₂ = 60

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 33,46 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 1450·(25/45)·(30/60) = 402,8 rpm

ω_out = 2π·402,8/60 = 42,18 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1500·0,97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/42,18 = 33,46 N·m

Ответ

T_out = 33,46 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,6745 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(130/1) = 11,4 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,4·√(0,06² − 0,01²) = 0,6745 m/s

Ответ

v = 0,6745 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1181 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,8 = 7,854 rad/s

Выразите время

0,6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,6) = 0,9273 rad

t = 0,9273/7,854 = 0,1181 s

Ответ

t = 0,1181 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,075

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·8) = 400 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 30/400 = 0,075

Ответ

ζ = 0,075

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 140 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 80 = 140 kN/m

Ответ

k_eq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics