Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 29 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.
Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.
Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.
Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 150 N тянет передний брусок массой 4 kg; брусок массой 7 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a брусков.
Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 50 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Шарик массой 0,5 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.
Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 12 m вдоль плоскости.
Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.
Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 30 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 60 m/s. Найдите скорость v′2 осколка массой 5 kg (положительна в исходном направлении).
Автомобиль массой 1400 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1700 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 22,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v1 первого автомобиля непосредственно перед столкновением.
Вал передаёт 122,5 kW при 1000 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.
тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,4 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 9 m вдоль склона.
Двигатель мощностью 7,5 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 12, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 30. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите выходной крутящий момент T2 на валу колеса.
В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (16 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1440 rpm и приводит колесо B (25 зуб.). Колесо C (45 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (80 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения nout.
Груз массой 0,4 kg на пружине с k = 190 N/m оттягивают на 4 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,35 s (со знаком).
Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,9 s и амплитудой 6 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 6 cm в точку со смещением 1,8 cm?
При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 15 mm через 5 циклов следует пик 5,8 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 15 kN/m и k₂ = 10 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту fn вертикальных колебаний в Hz.
Ответ: t = 16,57 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 58 m/s.
Ответ: t = 3,431 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: a = 3,631 m/s²
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Вниз по плоскости — положительное направление.
Ответ: a = 11,18 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Ответ: x = 127,5 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
Ответ: t = 4,458 s
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 14,01 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: T = 20,03 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
К центру (вверх) — положительное направление.
Ответ: v = 10,31 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.
Ответ: v = 6,57 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.
Ответ: v′2 = 12 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: v1 = 38,92 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Ответ: T = 1170 N·m
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Ответ: ω = 13,74 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.
Ответ: T2 = 58,65 N·m
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
Ответ: nout = 518,4 rpm
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
общее передаточное отношение = 2,778 : 1
Ответ: v = −0,8496 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: t = 0,5844 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,03023
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ответ: fn = 2,516 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics