Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 20 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 32 m/s, и он должен упасть на расстоянии 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 32 m/sR = 60 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,8 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,5 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,5 kgr = 0,6 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 6 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 35 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 3 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 35 Nθ = 15°μ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1300 kg, едущий на восток со скоростью 9 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1900 kg, едущим на север со скоростью 21 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1300 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 5 kg и длиной 2 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 4,5 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 5 kgL = 2 mm_ball = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар массой 15,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 2,5 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 15,5 kgv = 2,5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 30, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 50. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (12 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (16 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (24 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 16C = 18D = 24

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,4 kg на пружине с k = 410 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,4 kgk = 410 N/mA = 2 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg на пружине жёсткостью 50 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,7. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 40 kgk = 50 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 100 kN/m и k₂ = 10 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 158,7 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·3,5) = 158,7 m

Ответ

s = 158,7 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,852 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,852 s

Ответ

t = 3,852 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 166,1 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 98,1 + 67,97 = 166,1 N

Ответ

F = 166,1 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,36 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/9 = 4,36 m/s²

Ответ

a = 4,36 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 17,54 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·60/32² = 0,5748

Угол

2θ = 35,09° → θ = 17,54°

Ответ

θ = 17,54°

Второе решение: 90° − θ = 72,46°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 143,9 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 10,94·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,94 + √(119,8 + 1177))/9,81 = 4,787 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 30,07·4,787 = 143,9 m

Ответ

x = 143,9 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 28,26 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,8)) = 2,96 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 28,26 rpm

Ответ

n = 28,26 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T = 37,22 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·3²/0,6 = 14,71 + 22,5 = 37,22 N

Ответ

T = 37,22 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 6,601 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,5 − 0,15·0,866)) = 6,601 m/s

Ответ

v = 6,601 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,543 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 12,7 N

μ·mg·cos θ = 11,84 N

Работа и энергия

½mv² = (35 − 24,54)·3 = 31,38 J

v = √(2·31,38/5) = 3,543 m/s

Ответ

v = 3,543 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 16,8 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·12 = 4,8 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·12 = 16,8 m/s

Ответ

v′₂ = 16,8 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 12,99 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1300·9 = 11700 kg·m/s

p_y = 1900·21 = 39900 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 41580/3200 = 12,99 m/s

Ответ

v′ = 12,99 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 6,674 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5·9,81·1 + 4,5·9,81·2 = 137,3 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 6,667 + 18 = 24,67 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 137,3 → ω = √(2·137,3/24,67) = 3,337 rad/s

v = ω·L = 3,337·2 = 6,674 m/s

Ответ

v = 6,674 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 80,73 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·15,5·2,5² = 48,44 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·48,44 = 32,29 J

Итого

E_k = 48,44 + 32,29 = 80,73 J

Ответ

E_k = 80,73 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 11,55 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 7,295·50/30·0,95 = 11,55 N·m

Ответ

T₂ = 11,55 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 540 rpm

Первая ступень

n_B = 960·12/16 = 720 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 720·18/24 = 540 rpm

Ответ

n_out = 540 rpm

общее передаточное отношение = 1,778 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 2,09 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Ответ

L = 2,09 m

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,082 J

Угловая частота

ω = √(410/3,4) = 10,98 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·410·0,02² = 0,082 J

Ответ

E = 0,082 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 4,018 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(50000/40) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,7²) = 4,018 Hz

Ответ

f_d = 4,018 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 23,61 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 10 = 110 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(110000/5) = 148,3 rad/s

f_n = 148,3/(2π) = 23,61 Hz

Ответ

f_n = 23,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics