Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 15 s и, наконец, тормозит с замедлением 4 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 15 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 45° к горизонту, и он падает на расстоянии 70 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 45°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 22 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 240 m со скоростью 90 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 240 mv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1 kg на лёгкой нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1 kgr = 0,7 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 4 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 45°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 18 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 18 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1,5 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 13 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,3 kgv_in = 13 m/sv_out = 14 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 11,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 11 kg и радиусом 0,45 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v груза после того, как он опустился на 4 m.

m = 11,5 kgM = 11 kgR = 0,45 mg = 9,81 m/s²h = 4 m

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч массой 8 kg катится без проскальзывания со скоростью 5 m/s. Найдите его кинетическую энергию вращения E_rot.

m = 8 kgv = 5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 25, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 36. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 36η = 95%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (16 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (48 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (20 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 48C = 16D = 20

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 12 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,05 s (со знаком).

m = 3,3 kgk = 150 N/mA = 12 cmt = 0,05 s

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 500 m/sM = 2,5 kgk = 300 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 30 mm через 4 циклов следует пик 2,4 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 2,4 mmn = 4

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 100 kN/m, у нижней k₂ = 25 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 7,407 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/3 = 7,407 s

Ответ

t = 7,407 s

2.Кинематика

Ответ: s = 182,5 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·15 = 150 m

s₃ = 10²/(2·4) = 12,5 m

Полный путь

s = 20 + 150 + 12,5 = 182,5 m

Ответ

s = 182,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,203 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

Ответ

a = 5,203 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 33,44 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 14,71)/11 = 3,121 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·3,121 + 14,71 = 33,44 N

Ответ

T = 33,44 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 26,2 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 90°) = 26,2 m/s

Ответ

v₀ = 26,2 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 45,71 °

Разложите начальную скорость

v_x = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y0 = 22·sin 20° = 7,524 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(7,524² + 2·9,81·20) = 21,19 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 21,19/20,67 → α = 45,71°

Ответ

α = 45,71°

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 14,87 °

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Единицы

v = 90/3,6 = 25 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(240·9,81) = 0,2655

θ = 14,87°

Ответ

θ = 14,87°

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 93,81 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·0,7 = 72,53 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·72,53/0,7 − 1·9,81 = 93,81 N

Ответ

T_top = 93,81 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 6,937 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,7071 = 6,937 N

F = μN = 0,25·6,937 = 1,734 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,734·4 = 6,937 J

Ответ

W_f = 6,937 J

10.Работа и энергия

Ответ: N = 19,62 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(18 − 8) = 196,2 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·196,2/4 − 4,905 = 19,62 N

Ответ

N = 19,62 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,6 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1,5 − 3,5)/(1,5 + 3,5)·11 = −4,4 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 3,5)·11 = 6,6 m/s

Ответ

v′₂ = 6,6 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 162 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(14 + 13) = 8,1 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 8,1/0,05 = 162 N

Ответ

F_avg = 162 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,286 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 11,5·9,81/(11,5 + 5,5) = 6,636 m/s²

Скорость после падения

v = √(2·a·h) = √(2·6,636·4) = 7,286 m/s

Ответ

v = 7,286 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_rot = 100 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·8·5² = 100 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·100 = 100 J

Ответ

E_rot = 100 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 47,9 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 35,01·36/25·0,95 = 47,9 N·m

Ответ

T₂ = 47,9 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 800 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·16/48 = 1000 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1000·16/20 = 800 rpm

Ответ

n_out = 800 rpm

общее передаточное отношение = 3,75 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,2676 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/3,3) = 6,742 rad/s

ω·t = 6,742·0,05 = 0,3371 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,12·6,742·sin(0,3371) = −0,2676 m/s

Ответ

v = −0,2676 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 27,3 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·500/2,515 = 2,982 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(300/2,515) = 10,92 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 2,982/10,92 = 0,273 m = 27,3 cm

Ответ

A = 27,3 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,09999

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/4)·ln(30/2,4) = 0,6314

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Ответ

ζ = 0,09999

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 4,502 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/25 → k_eq = 100·25/(100 + 25) = 20 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(20000/25) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Ответ

f_n = 4,502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics