Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 600 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 35 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 35 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 400 m со скоростью 120 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 400 mv = 120 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,2 kg на лёгкой нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,2 kgr = 0,7 mv_bottom = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 6 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 65 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 8 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 65 Nθ = 25°μ = 0,1d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 0,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,6 kgv_in = 12 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 13 kg и длиной 1,9 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.

m = 13 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,35 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 4 m вдоль склона.

θ = 40°s = 4 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,35 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 11 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 12, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 24. Потерями пренебречь. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 24η = 100%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 30 зубьев, а каждый сателлит — 30 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1200 rpm. Найдите частоту вращения n_c водила.

N_s = 30N_p = 30n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,3 m имеет период малых колебаний 2,14 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,3 mT = 2,14 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,2 s и амплитудой 9 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 9 cm в точку со смещением 7,2 cm?

T = 2,2 sA = 9 cmx = 7,2 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 20 kg опирается на пружину жёсткостью 10 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 90 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 20 kgk = 10 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 30 kN/m и k₂ = 40 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 67,08 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·600) = 67,08 m/s

Ответ

v = 67,08 m/s

(241,5 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 22,5 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 2,497 = 22,5 m

Ответ

h_max = 22,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,856 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Ответ

a = 4,856 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 13,08 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 0)/6 = 3,27 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·3,27 + 0 = 13,08 N

Ответ

T = 13,08 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,67 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5,736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8,192 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·8,192/9,81 = 1,67 s

Ответ

t = 1,67 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 49,67 °

Разложите начальную скорость

v_x = 35·cos 25° = 31,72 m/s

v_y0 = 35·sin 25° = 14,79 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(14,79² + 2·9,81·60) = 37,36 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 37,36/31,72 → α = 49,67°

Ответ

α = 49,67°

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 15,81 °

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Единицы

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 33,33²/(400·9,81) = 0,2832

θ = 15,81°

Ответ

θ = 15,81°

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 13,57 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 6,5² − 4·9,81·0,7 = 14,78 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·14,78/0,7 − 1,2·9,81 = 13,57 N

Ответ

T_top = 13,57 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 2,752 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1500·0,06² = 2,7 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 2,7/0,981 = 2,752 m

Ответ

h = 2,752 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,842 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 41,46 N

μ·mg·cos θ = 8,891 N

Работа и энергия

½mv² = (65 − 50,35)·8 = 117,2 J

v = √(2·117,2/10) = 4,842 m/s

Ответ

v = 4,842 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −2,455 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 5)/(0,5 + 5)·3 = −2,455 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 5)·3 = 0,5455 m/s

Ответ

v′₁ = −2,455 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 18 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(18 + 12) = 18 N·s

Ответ

J = 18 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 7,745 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,9) = 7,745 rad/s²

Ответ

α = 7,745 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 14,35 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 4·sin 40° = 2,571 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·2,571/2) = 5,022 m/s

ω = v/r = 5,022/0,35 = 14,35 rad/s

Ответ

ω = 14,35 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 140,1 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 70,03·24/12·1 = 140,1 N·m

Ответ

T₂ = 140,1 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_c = 300 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·30 = 90

Формула Виллиса при неподвижном коронном колесе

Положите n_r = 0 и найдите частоту вращения водила.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −90/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·30/120 = 300 rpm

Ответ

n_c = 300 rpm

Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,21 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/2,14² = 11,21 m/s²

Ответ

g = 11,21 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,2253 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/2,2 = 2,856 rad/s

Выразите время

0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad

t = 0,6435/2,856 = 0,2253 s

Ответ

t = 0,2253 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1006

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·20) = 894,4 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 90/894,4 = 0,1006

Ответ

ζ = 0,1006

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,797 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 30 + 40 = 70 kN/m

k_eq = 70·15/(70 + 15) = 12,35 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(12353/40) = 17,57 rad/s

f_n = 17,57/(2π) = 2,797 Hz

Ответ

f_n = 2,797 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics