Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 12 s, затем движется с постоянной скоростью 5 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 12 st₂ = 5 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 90 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 90 Nθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 40° к горизонту, и он падает на расстоянии 100 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 40°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 11 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 11 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль переезжает через вершину бугра на дороге, имеющего форму дуги окружности радиусом 45 m. Примите g = 9,81 m/s². При какой скорости v_max колёса отрываются от дороги на вершине?

r = 45 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 40 m имеет вираж с уклоном 18°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 40 mθ = 18°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 18 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,25d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 7 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 7 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 12 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 8,5 kg·m² вращается с частотой 1200 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 10 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 8,5 kg·m²n = 1200 rpmT_b = 10 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 17 kg катится без проскальзывания со скоростью 3,5 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 17 kgv = 3,5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 40, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 60. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (12 зубьев) на входном валу вращается с частотой 2880 rpm и приводит колесо B (45 зубьев). Колесо C (16 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 256 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 12B = 45C = 16n_out = 256 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,2 m имеет период малых колебаний 2,31 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,2 mT = 2,31 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 390 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 19 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 9 cm от положения равновесия.

k = 390 N/mA = 19 cmx = 9 cm

K = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 100 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 630 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 100 kgk = 100 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 5 kN/m, у нижней k₂ = 5 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 2,5 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4 = 2,5 s

Ответ

t = 2,5 s

2.Кинематика

Ответ: s = 360 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·12 = 24 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·12² = 144 m

s₂ = 24·5 = 120 m

s₃ = 24²/(2·3) = 96 m

Полный путь

s = 144 + 120 + 96 = 360 m

Ответ

s = 360 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,154 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 90·sin 40° = 285,5 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 68,94 − 28,55

a = 40,39/35 = 1,154 m/s²

Ответ

a = 1,154 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,652 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 1,472)/7,5 = 7,652 m/s²

Ответ

a = 7,652 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 31,56 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 80°) = 31,56 m/s

Ответ

v₀ = 31,56 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 22,03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 11·sin 35° = 6,309 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 6,309²/(2·9,81) = 2,029 m

Высота над землёй

H = 20 + 2,029 = 22,03 m

Ответ

H = 22,03 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Нулевая нормальная реакция

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·45) = 21,01 m/s

Ответ

v_max = 21,01 m/s

(75,64 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 16,48 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(40·9,81·0,5943/0,8584) = 16,48 m/s

Ответ

v_max = 16,48 m/s

(59,34 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 414,8 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,25·92,18 = 23,05 N

Работа против трения

W_f = F·d = 23,05·18 = 414,8 J

Ответ

W_f = 414,8 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,672 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(7 − 4) = 58,86 m²/s²

v = 7,672 m/s

Ответ

v = 7,672 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 13,54 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 2,5)/(4 + 2,5)·11 = 2,538 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2,5)·11 = 13,54 m/s

Ответ

v′₂ = 13,54 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1350 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(15 + 12) = 13,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 13,5/0,01 = 1350 N

Ответ

F_avg = 1350 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 1068 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·8,5·125,7² = 67113 J

θ = 67113/10 = 6711 rad

Обороты

N = θ/2π = 1068 rev

Ответ

N = 1068 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 28,57 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·17·3,5² = 104,1 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·104,1 = 41,65 J

Доля вращения

p = 41,65/145,8·100% = c/(1 + c)·100% = 28,57%

Ответ

p = 28,57 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 14,92 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Ответ

T₁ = 14,92 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 2880·12/45 = 768 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 16·768/256 = 48

Ответ

N_D = 48

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,878 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,2/2,31² = 8,878 m/s²

Ответ

g = 8,878 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: K = 5,46 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·390·0,19² = 7,039 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·390·0,09² = 1,579 J

Кинетическая энергия

K = 7,039 − 1,579 = 5,46 J

Ответ

K = 5,46 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,09961

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·100) = 6325 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 630/6325 = 0,09961

Ответ

ζ = 0,09961

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 2,5 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/5 → k_eq = 5·5/(5 + 5) = 2,5 kN/m

Ответ

k_eq = 2,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics