Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 8 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 8 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 5 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 20° к горизонту с силой 20 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 5 kgF = 20 Nθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 100 N тянет передний брусок массой 12 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 12 kgF = 100 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 70 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 70 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,2 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,2 kgr = 1 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,25 kg, сжимают пружину на 8 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,25 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 11,2 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 11,2 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 24 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1200 kg, едущим на север со скоростью 17 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 2000 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 1 kg и длиной 2,1 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 1 kgL = 2,1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар массой 7,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 6,5 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 7,5 kgv = 6,5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Ремень идёт по ведущему шкиву 125 mm с частотой 1500 rpm. Натяжение равно 1500 N на ведущей ветви и 300 N на ведомой. Найдите передаваемую мощность P в kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (32 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (36 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (25 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 32B = 36C = 18D = 25

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 1,15 s (со знаком).

m = 3,3 kgk = 370 N/mA = 14 cmt = 1,15 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 4 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,9 kgk = 150 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 12 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,5. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 12 kgk = 100 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на пружине k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 100 kN/m и k₂ = 10 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 9,091 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5,5) = 9,091 m

Ответ

s = 9,091 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 23,26 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9,81) = 3,262 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 3,262 = 23,26 m

Ответ

h_max = 23,26 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,07 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 49,05 − 20·sin 20° = 42,21 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 18,79 − 8,442

a = 10,35/5 = 2,07 m/s²

Ответ

a = 2,07 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 45,45 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 32,37)/22 = 3,074 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(3,074 + 1,472) = 45,45 N

Ответ

T = 45,45 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,931 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19,28 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·19,28/9,81 = 3,931 s

Ответ

t = 3,931 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,381 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9,193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7,713 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 7,713·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,713 + √(59,5 + 588,6))/9,81 = 3,381 s

Ответ

t = 3,381 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,92 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·70) = 21,92 m/s

Ответ

v_max = 21,92 m/s (78,93 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 54,97 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·6²/1 = 11,77 + 43,2 = 54,97 N

Ответ

T = 54,97 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 1,305 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1000·0,08² = 3,2 J

Высота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 3,2/2,453 = 1,305 m

Ответ

h = 1,305 m

10.Работа и энергия

Ответ: N = 2,943 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(11,2 − 8) = 62,78 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·62,78/4 − 4,905 = 2,943 N

Ответ

N = 2,943 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 13,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 1,5)/(4,5 + 1,5)·9 = 4,5 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 1,5)·9 = 13,5 m/s

Ответ

v′₂ = 13,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 16,3 m/s

Составляющие импульса

p_x = 2000·24 = 48000 kg·m/s

p_y = 1200·17 = 20400 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 52155/3200 = 16,3 m/s

Ответ

v′ = 16,3 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,861 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 1·9,81·1,05 = 10,3 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 1·2,1²/3 = 1,47 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 10,3 → ω = √(2·10,3/1,47) = 3,744 rad/s

v = ω·L = 3,744·2,1 = 7,861 m/s

Ответ

v = 7,861 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 264,1 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·7,5·6,5² = 158,4 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·158,4 = 105,6 J

Итого

E_k = 158,4 + 105,6 = 264,1 J

Ответ

E_k = 264,1 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 11,78 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Скорость ремня

v = 9,817 m/s

Мощность

P = (1500 − 300)·9,817 = 11781 W = 11,78 kW

Ответ

P = 11,78 kW

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1856 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 2900·32/36 = 2578 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 2578·18/25 = 1856 rpm

Ответ

n_out = 1856 rpm

общее передаточное отношение = 1,563 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: x = 12,95 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(370/3,3) = 10,59 rad/s

ω·t = 10,59·1,15 = 12,18 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(12,18) = 12,95 cm

Ответ

x = 12,95 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,5164 m/s

Угловая частота

ω = √(150/0,9) = 12,91 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,04·12,91 = 0,5164 m/s

Ответ

v_max = 0,5164 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 12,58 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/12) = 91,29 rad/s

f_n = 91,29/(2π) = 14,53 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14,53·√(1 − 0,5²) = 12,58 Hz

Ответ

f_d = 12,58 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 7,012 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 100 + 10 = 110 kN/m

k_eq = 110·60/(110 + 60) = 38,82 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(38824/20) = 44,06 rad/s

f_n = 44,06/(2π) = 7,012 Hz

Ответ

f_n = 7,012 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics