Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 50 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 9 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 9 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 15 m/s под углом 55° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 15 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1100 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 19 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 60 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1100 kgv = 19 m/sr = 60 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 2,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 2,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 6 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,25d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 3 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 1,5 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,6 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 2 kgL = 0,6 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель разгоняет маховик с моментом инерции 15,5 kg·m² из состояния покоя до 1600 rpm за 16 s. Пренебрегая потерями, найдите среднюю мощность P_avg, которую он развивает, в kW.

I = 15,5 kg·m²n = 1600 rpmt = 16 s

P_avg = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его скорость v после того, как он прокатился 3,5 m вдоль склона.

θ = 20°s = 3,5 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 11 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 45, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 48. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (30 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (48 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (45 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 30B = 48C = 20D = 45

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 3 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,8 kg на пружине с k = 100 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,8 kgk = 100 N/mA = 19 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 100 kg на пружине жёсткостью 15 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,35. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 100 kgk = 15 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 30 kN/m, у нижней k₂ = 30 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 21,43 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4,5) = 21,43 m

Ответ

s = 21,43 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,742 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,742 s

Ответ

t = 3,742 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,433 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Ответ

a = 2,433 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,837 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 25,32 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,232 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 25,32 − 7,232)/11 = 2,837 m/s²

Ответ

a = 2,837 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,338 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8,03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11,47 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,47/9,81 = 2,338 s

Ответ

t = 2,338 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 57,7 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 15·sin 55° = 12,29 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 12,29²/(2·9,81) = 7,695 m

Высота над землёй

H = 50 + 7,695 = 57,7 m

Ответ

H = 57,7 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 4173 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9,81 − 1100·19²/60 = 10791 − 6618 = 4173 N

Ответ

N = 4173 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 6,25 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2,5 = 6,25 m

Ответ

h_min = 6,25 m

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,901 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·6·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 7,901 m/s

Ответ

v = 7,901 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,836 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,25·3) = 7,357 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,75) = 3,836 m/s

Ответ

v = 3,836 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 144,6 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1,5)·0,7672/0,008 = 144,6 m/s

Ответ

v = 144,6 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 126,8 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 30°) = 0,08038 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,08038) = 1,256 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 2,02·1,256/0,02 = 126,8 m/s

Ответ

v = 126,8 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P_avg = 13,6 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1600/60 = 167,6 rad/s

Энергия

E = ½·I·ω² = ½·15,5·167,6² = 217570 J

Средняя мощность

P_avg = E/t = 217570/16 = 13598 W = 13,6 kW

Ответ

P_avg = 13,6 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 4,096 m/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 3,5·sin 20° = 1,197 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·1,197/1,4) = 4,096 m/s

Ответ

v = 4,096 m/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 70,03 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Ответ

T₁ = 70,03 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 805,6 rpm

Первая ступень

n_B = 2900·30/48 = 1813 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1813·20/45 = 805,6 rpm

Ответ

n_out = 805,6 rpm

общее передаточное отношение = 3,6 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 2,236 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Ответ

L = 2,236 m

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,805 J

Угловая частота

ω = √(100/0,8) = 11,18 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·100·0,19² = 1,805 J

Ответ

E = 1,805 J

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 1,826 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(15000/100) = 12,25 rad/s

f_n = 12,25/(2π) = 1,949 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,949·√(1 − 0,35²) = 1,826 Hz

Ответ

f_d = 1,826 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 15 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/30 → k_eq = 30·30/(30 + 30) = 15 kN/m

Ответ

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics