Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1100 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 2 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 7 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 31 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 9 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 31 m/sθ = 70°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 65 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 65 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,7 kgr = 0,7 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg въезжает на подъём 6° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 300 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 1 kgh = 3,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1900 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 7 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1900 kgd = 7 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 7 kg и длиной 2,1 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.

m = 7 kgL = 2,1 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 10° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a его центра.

θ = 10°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 4 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с 16 зубьями и модулем 2,5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 4 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (18 зубьев), которое зацепляется с колесом B (36 зубьев). Колесо C (24 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (40 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,1 kWn_in = 1450 rpmA = 18B = 36C = 24D = 40η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 180 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1 s (со знаком).

m = 1,7 kgk = 180 N/mA = 14 cmt = 1 s

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 250 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,6 kgk = 250 N/mA = 5 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 20 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 710 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 20 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 87,75 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1100) = 87,75 m/s

Ответ

v = 87,75 m/s

(315,9 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 93,06 m

Активный участок

v₁ = 24·1,5 = 36 m/s

h₁ = ½·24·1,5² = 27 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 36²/(2·9,81) = 66,06 m

h_max = 27 + 66,06 = 93,06 m

Ответ

h_max = 93,06 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,923 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,25·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2266) = 1,923 m/s²

Ответ

a = 1,923 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,654 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 13,73)/9 = 0,654 m/s²

Ответ

a = 0,654 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,346 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 55° = 21,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 55° = 31,13 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·31,13/9,81 = 6,346 s

Ответ

t = 6,346 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 59,5 m

Разложите начальную скорость

v_x = 10,6 m/s, v_y = 29,13 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

9 = 29,13·t − 4,905·t²

t = (29,13 + √(29,13² − 2·9,81·9))/9,81 = 5,612 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,6·5,612 = 59,5 m

Ответ

x = 59,5 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 19,56 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·65) = 19,56 m/s

Ответ

v_max = 19,56 m/s (70,42 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 135,7 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·7²/0,7 = 16,68 + 119 = 135,7 N

Ответ

T = 135,7 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 30,61 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 300 = 1531 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1531·20 = 30610 W = 30,61 kW

Ответ

P = 30,61 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,799 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(3,5 − 0,2·2) = 30,41 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,1) = 7,799 m/s

Ответ

v = 7,799 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3 − 5)/(3 + 5)·10 = −2,5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 5)·10 = 7,5 m/s

Ответ

v′₂ = 7,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 19,61 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·7) = 9,805 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·9,805/1900 = 19,61 m/s

Ответ

v₁ = 19,61 m/s

(70,6 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 7,007 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,1) = 7,007 rad/s²

Ответ

α = 7,007 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: a = 1,022 m/s²

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,667 = 1,022 m/s²

Ответ

a = 1,022 m/s²

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 1317 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·26,34/0,04 = 1317 N

Ответ

F_t = 1317 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 23,19 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 1450·(18/36)·(24/40) = 435 rpm

ω_out = 2π·435/60 = 45,55 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1100·0,98² = 1056 W

T_out = P_out/ω_out = 1056/45,55 = 23,19 N·m

Ответ

T_out = 23,19 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,097 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(180/1,7) = 10,29 rad/s

ω·t = 10,29·1 = 10,29 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,14·10,29·sin(10,29) = 1,097 m/s

Ответ

v = 1,097 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,3125 J

Угловая частота

ω = √(250/0,6) = 20,41 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·250·0,05² = 0,3125 J

Ответ

E = 0,3125 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,251

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 710/2828 = 0,251

Ответ

ζ = 0,251

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 40 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 20 = 40 kN/m

Ответ

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics