Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 36 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 5 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 10 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 60 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 10 kgF = 60 Nθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 4 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 17 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 70 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 70 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 4,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 27,2 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 4,5 kgh = 27,2 mR = 8 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 2 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 130 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 5 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 130 Nθ = 35°μ = 0,3d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1400 kg, едущий на восток со скоростью 8 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 8 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1400 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 1,5 kg и длиной 2 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 1,5 kgL = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Человек стоит на поворотном круге без трения и держит в каждой руке гантель массой 1,5 kg на расстоянии 0,85 m от оси. Человек вместе с кругом имеют момент инерции 1,5 kg·m² относительно оси. Они вращаются с частотой 60 rpm, затем человек приближает гантели к оси до расстояния 0,25 m. Считайте гантели точечными массами. Найдите новую частоту вращения n₂ в rpm.

I₀ = 1,5 kg·m²m = 2 × 1,5 kgr₁ = 0,85 mr₂ = 0,25 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 16, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 24. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 16N₂ = 24η = 96%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Открытый ремень соединяет шкив 150 mm и шкив 250 mm, центры которых находятся на расстоянии 800 mm. Найдите угол обхвата θ на меньшем шкиве в градусах.

d₁ = 150 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 300 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 2,2 kgk = 300 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,3 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 100 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 2,3 kgk = 100 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 250 kg опирается на пружину жёсткостью 25 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 1500 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 250 kgk = 25 kN/mc = 1500 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 100 kN/m и k₂ = 12 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 2,857 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/3,5 = 2,857 s

Ответ

t = 2,857 s

2.Кинематика

Ответ: t = 3,035 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,035 s

Ответ

t = 3,035 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,153 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 60·sin 30° = 68,1 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 51,96 − 20,43

a = 31,53/10 = 3,153 m/s²

Ответ

a = 3,153 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,244 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·6,43) = 1,244 m

Ответ

d = 1,244 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 7,809 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 65° = 4,226 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 65° = 9,063 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9,063/9,81 = 1,848 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 4,226·1,848 = 7,809 m

Ответ

x = 7,809 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,086 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 55° = 9,751 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 55° = 13,93 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 13,93·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,93 + √(193,9 + 490,5))/9,81 = 4,086 s

Ответ

t = 4,086 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,92 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·70) = 21,92 m/s

Ответ

v_max = 21,92 m/s (78,93 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 79,46 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(27,2 − 2·8) = 219,7 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 4,5·219,7/8 − 44,15 = 79,46 N

Ответ

N_top = 79,46 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 4,205 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,5736 − 0,15·0,8192)) = 4,205 m/s

Ответ

v = 4,205 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,044 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 56,27 N

μ·mg·cos θ = 24,11 N

Работа и энергия

½mv² = (130 − 80,38)·5 = 248,1 J

v = √(2·248,1/10) = 7,044 m/s

Ответ

v = 7,044 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 1,429 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 2,5)/(4,5 + 2,5)·5 = 1,429 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 2,5)·5 = 6,429 m/s

Ответ

v′₁ = 1,429 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 46,97 °

Составляющие импульса

p_x = 1400·8 = 11200 kg·m/s

p_y = 1500·8 = 12000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,071 → θ = 46,97°

Ответ

θ = 46,97°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,672 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 = 1,5·9,81·1 = 14,71 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 = 1,5·2²/3 = 2 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 14,71 → ω = √(2·14,71/2) = 3,836 rad/s

v = ω·L = 3,836·2 = 7,672 m/s

Ответ

v = 7,672 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 130,4 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = 1,5 + 2·1,5·0,85² = 3,667 kg·m²

I₂ = 1,5 + 2·1,5·0,25² = 1,688 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·3,667/1,688 = 130,4 rpm

Ответ

n₂ = 130,4 rpm

Кинетическая энергия возрастает: дополнительная энергия берётся из работы человека, придвигающего гантели.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 9,549 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Ответ

T₁ = 9,549 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: θ = 172,8 °

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Угол ремня

asin(0,0625) = 3,583°

Угол обхвата

θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°

Ответ

θ = 172,8°

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4523 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(300/2,2) = 11,68 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,68·√(0,04² − 0,01²) = 0,4523 m/s

Ответ

v = 0,4523 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 45,13 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,3·9,81/100 = 0,2256 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,4513 m = 45,13 cm

Ответ

x_max = 45,13 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,3

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·250) = 5000 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 1500/5000 = 0,3

Ответ

ζ = 0,3

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 4,679 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 100 + 12 = 112 kN/m

k_eq = 112·50/(112 + 50) = 34,57 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(34568/40) = 29,4 rad/s

f_n = 29,4/(2π) = 4,679 Hz

Ответ

f_n = 4,679 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics