Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 700 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 35 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 20 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 35 mv_0B = 20 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 10 kg и 6 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 0,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 10 m/s под углом 70° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 10 m/sθ = 70°x = 5 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 11 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 11 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,5 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 30° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 200 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 10 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 200 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 4 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg, движущийся со скоростью 19 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1500 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1000 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 24 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1300 kg, едущим на север со скоростью 24 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 2000 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 15 kg·m² вращается с частотой 300 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 180 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 15 kg·m²n = 300 rpmT_b = 180 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 2,5 kg и длиной 1,2 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 25 g, летящая горизонтально со скоростью 560 m/s, попадает в стержень на 0,63 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.

M = 2,5 kgL = 1,2 mm = 25 gv = 560 m/sd = 0,63 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Шкив 200 mm с частотой 960 rpm приводит ремнём шкив 250 mm при проскальзывании 1,5 %. Найдите частоту вращения n₂ ведомого шкива.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 250 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 15 зубьев, а каждый сателлит — 15 зубьев. Водило закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 3000 rpm. Найдите частоту вращения n_r коронного колеса (по модулю).

N_s = 15N_p = 15n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1 kg на пружине с k = 420 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 1 kgk = 420 N/mA = 8 cmx = 6 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 220 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

k = 220 N/mA = 17 cmx = 1 cm

K = J

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 12 kg опирается на пружину жёсткостью 10 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 420 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 420 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 15 kN/m, у нижней k₂ = 25 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 70 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·700) = 70 m/s

Ответ

v = 70 m/s

(252 km/h)

2.Кинематика

Ответ: y = 19,98 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

35 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 35/20 = 1,75 s

Высота встречи

y = 20·1,75 − ½·9,81·1,75² = 19,98 m

Ответ

y = 19,98 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 73,58 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (10 − 6)·9,81/(10 + 6) = 2,453 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 6·(9,81 + 2,453) = 73,58 N

Ответ

T = 73,58 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8918 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 0)/5,5 = 0,8918 m/s²

Ответ

a = 0,8918 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 3,255 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 10·cos 70° = 3,42 m/s

t = x/v_x = 5/3,42 = 1,462 s

Высота в этот момент

y = 9,397·1,462 − ½·9,81·1,462² = 3,255 m

Ответ

y = 3,255 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 74,25 °

Разложите начальную скорость

v_x = 11·cos 35° = 9,011 m/s

v_y0 = 11·sin 35° = 6,309 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(6,309² + 2·9,81·50) = 31,95 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 31,95/9,011 → α = 74,25°

Ответ

α = 74,25°

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,286 s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,5·sin 30° = 0,75 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,75·9,81·tan 30°) = 2,061 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,75/2,061 = 2,286 s

Ответ

T = 2,286 s

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,132 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

Ответ

v_min = 3,132 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: h = 1,019 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·200·0,1² = 1 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 1/0,981 = 1,019 m

Ответ

h = 1,019 m

10.Работа и энергия

Ответ: N = 58,86 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4 − 2) = 39,24 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·39,24/1 − 19,62 = 58,86 N

Ответ

N = 58,86 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 60 %

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·19/2500 = 7,6 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1000·19² = 180500 J

K_after = ½·2500·7,6² = 72200 J

Потерянная доля

ΔK/K = 108300/180500 = 60 %

Ответ

ΔK/K = 60 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 17,35 m/s

Составляющие импульса

p_x = 2000·24 = 48000 kg·m/s

p_y = 1300·24 = 31200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 57249/3300 = 17,35 m/s

Ответ

v′ = 17,35 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 6,545 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·15·31,42² = 7402 J

θ = 7402/180 = 41,12 rad

Обороты

N = θ/2π = 6,545 rev

Ответ

N = 6,545 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 7,29 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 2,5·1,2²/3 + 0,025·0,63² = 1,21 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,025·560·0,63/1,21 = 7,29 rad/s

Ответ

ω = 7,29 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n₂ = 756,5 rpm

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Частота вращения без проскальзывания

960·200/250 = 768 rpm

С проскальзыванием

n₂ = 768·0,985 = 756,5 rpm

Ответ

n₂ = 756,5 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_r = 1000 rpm

Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.

Число зубьев коронного колеса

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Формула Виллиса при неподвижном водиле

При n_c = 0 солнечная шестерня приводит коронное колесо через сателлиты, которые работают как паразитные колёса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·15/45 = −1000 rpm

|n_r| = 1000 rpm

Ответ

n_r = 1000 rpm

Коронное колесо вращается в направлении, противоположном солнечной шестерне.

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,084 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(420/1) = 20,49 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 20,49·√(0,08² − 0,06²) = 1,084 m/s

Ответ

v = 1,084 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: K = 3,168 J

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·220·0,17² = 3,179 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·220·0,01² = 0,011 J

Кинетическая энергия

K = 3,179 − 0,011 = 3,168 J

Ответ

K = 3,168 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,6062

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692,8 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 420/692,8 = 0,6062

Ответ

ζ = 0,6062

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 9,375 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/25 → k_eq = 15·25/(15 + 25) = 9,375 kN/m

Ответ

k_eq = 9,375 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics