Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 20 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 20 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 10 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 40 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 10 kgF = 40 Nθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 30° со скоростью 3 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 3 m/sθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 34 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 20 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 20 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,5 kgr = 1,2 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,35. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,35d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1500 kg, движущийся со скоростью 18 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 20 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,45 kgv_in = 10 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 38,5 kg·m² вращается с частотой 300 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 10 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 38,5 kg·m²n = 300 rpmT_b = 10 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 10° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,2 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 8 m вдоль склона.

θ = 10°s = 8 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,2 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой 2900 rpm приводит червяк с числом заходов 2. Червячное колесо имеет 36 зубьев, КПД передачи 60%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 36n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 60%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (48 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (80 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (48 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 48B = 80C = 24D = 48

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,7 m имеет период малых колебаний 2,73 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,7 mT = 2,73 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 240 N/m оттягивают на 17 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,3 kgk = 240 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 30 mm через 4 циклов следует пик 4 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 4 mmn = 4

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 50 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 57,14 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3,5) = 57,14 m

Ответ

s = 57,14 m

2.Кинематика

Ответ: t = 8,292 s

Активный участок

v₁ = 20·1,5 = 30 m/s

h₁ = ½·20·1,5² = 22,5 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (30 + √(30² + 2·9,81·22,5))/9,81 = 6,792 s

t = 1,5 + 6,792 = 8,292 s

Ответ

t = 8,292 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,902 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 40·sin 30° = 78,1 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 34,64 − 15,62

a = 19,02/10 = 1,902 m/s²

Ответ

a = 1,902 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 0,7282 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 30° + 0,15·cos 30°) = 6,179 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·6,179) = 0,7282 m

Ответ

d = 0,7282 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 39,54 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27,85 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 27,85²/(2·9,81) = 39,54 m

Ответ

H = 39,54 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 77,75 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22,55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8,208 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 8,208·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,208 + √(67,38 + 588,6))/9,81 = 3,448 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 22,55·3,448 = 77,75 m

Ответ

x = 77,75 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 7,672 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·20) = 7,672 m/s

Ответ

v_max = 7,672 m/s (27,62 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 10,01 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·3,5²/1,2 = 4,905 + 5,104 = 10,01 N

Ответ

T = 10,01 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 10,14 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,6428 − 0,35·0,766)) = 10,14 m/s

Ответ

v = 10,14 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,984 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,15·4,5) = 44,76 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,825) = 5,984 m/s

Ответ

v = 5,984 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 60750 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·18/2000 = 13,5 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1500·18² = 243000 J

K_after = ½·2000·13,5² = 182250 J

Потерянная энергия

ΔK = 243000 − 182250 = 60750 J

Ответ

ΔK = 60750 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 337,5 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(20 + 10) = 13,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 13,5/0,04 = 337,5 N

Ответ

F_avg = 337,5 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 302,4 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·38,5·31,42² = 18999 J

θ = 18999/10 = 1900 rad

Обороты

N = θ/2π = 302,4 rev

Ответ

N = 302,4 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 20,22 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 8·sin 10° = 1,389 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·1,389/1,667) = 4,044 m/s

ω = v/r = 4,044/0,2 = 20,22 rad/s

Ответ

ω = 20,22 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 39,12 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 2900·2/36 = 161,1 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·161,1/60 = 16,87 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·1100/16,87 = 39,12 N·m

Ответ

T_w = 39,12 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 900 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·48/80 = 1800 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1800·24/48 = 900 rpm

Ответ

n_out = 900 rpm

общее передаточное отношение = 3,333 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,708 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,7/2,73² = 3,708 m/s²

Ответ

g = 3,708 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,45 m/s

Угловая частота

ω = √(240/3,3) = 8,528 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,17·8,528 = 1,45 m/s

Ответ

v_max = 1,45 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,07991

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/4)·ln(30/4) = 0,5037

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5037/√(39,48 + 0,2537) = 0,07991

Ответ

ζ = 0,07991

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 70 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 20 = 70 kN/m

Ответ

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics