Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 21 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.
Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 10 s, затем движется с постоянной скоростью 29 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.
Брусок массой 5 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.
Брусок массой 7 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.
Мяч бросают под углом 55° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 35 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.
Автомобиль массой 1200 kg въезжает на подъём 8° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 350 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.
Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.
Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′2 второй тележки после столкновения.
Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 20 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.
Однородный тонкий стержень массой 8 kg и длиной 1,6 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.
Однородный сплошной диск (масса 37 kg, радиус 0,4 m) свободно вращается с частотой 550 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 14 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?
Ремень идёт по ведущему шкиву 100 mm с частотой 1500 rpm. Натяжение равно 800 N на ведущей ветви и 160 N на ведомой. Найдите передаваемую мощность P в kW.
Открытый ремень соединяет ведущий шкив 120 mm с частотой 1440 rpm со шкивом 450 mm; расстояние между центрами 800 mm. Коэффициент трения равен 0,3, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 1000 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).
Груз массой 2,7 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1 s (со знаком).
Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,4 s и амплитудой 7 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 6,3 cm?
Груз массой 20 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 710 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 10 kN/m и k₂ = 50 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту fn вертикальных колебаний в Hz.
Ответ: t = 8,4 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 42 m/s.
Ответ: t = 47,33 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Ответ: a = 2,368 m/s²
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Вниз по плоскости — положительное направление.
Ответ: T = 28,61 N
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: x = 9,579 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
Ответ: t = 4,828 s
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 15,5 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: T = 6,318 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
К центру (вверх) — положительное направление.
Ответ: P = 39,77 kW
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.
Ответ: v = 5,241 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.
Ответ: v′2 = 2 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.
Ответ: J = 21 N·s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: α = 9,197 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.
Ответ: ΔE = 2115 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Ответ: P = 5,027 kW
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: P = 5,054 kW
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: v = 0,7098 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: t = 0,4277 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,251
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.
Ответ: fn = 3,343 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Параллельно соединены только k1 и k2. Эта пара соединена последовательно с k3, поэтому складывайте обратные величины.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics