Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,8 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,8 sa = −6 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 18 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 14 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 14 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 26 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 70° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 23 m/sθ = 70°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 28,6 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 6,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 0,5 kgh = 28,6 mR = 6,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1500 kg въезжает на подъём 4° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 400 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 400 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 4 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0,1d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 14 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 4,5 kgh = 14 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1700 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1400 kg, едущим на север со скоростью 9 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1700 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 9 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 2,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 8,5 kg и радиусом 0,15 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угловое ускорение α блока.

m = 2,5 kgM = 8,5 kgR = 0,15 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

Человек стоит на поворотном круге без трения и держит в каждой руке гантель массой 6 kg на расстоянии 0,75 m от оси. Человек вместе с кругом имеют момент инерции 5 kg·m² относительно оси. Они вращаются с частотой 35 rpm, затем человек приближает гантели к оси до расстояния 0,3 m. Считайте гантели точечными массами. Найдите новую частоту вращения n₂ в rpm.

I₀ = 5 kg·m²m = 2 × 6 kgr₁ = 0,75 mr₂ = 0,3 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой вращения 1500 rpm приводит шестерню с числом зубьев 12, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 18. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 98%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (16 зубьев) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (24 зубьев). Колесо C (36 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 1000 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 3000 rpmA = 16B = 24C = 36n_out = 1000 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 210 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2 kgk = 210 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg на пружине жёсткостью 200 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,3. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 50 kgk = 200 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на пружине k₃ = 20 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 50 kN/m и k₂ = 100 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 23,02 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,8 = 10 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·6) = 13,02 m

Итого

d = 10 + 13,02 = 23,02 m

Ответ

d = 23,02 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,744 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−25 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 25 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,744 s

Ответ

t = 4,744 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,433 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Ответ

a = 2,433 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,679 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 0)/9,5 = 5,679 m/s²

Ответ

a = 5,679 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 30,42 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 70° = 8,893 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 70° = 24,43 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 24,43²/(2·9,81) = 30,42 m

Ответ

H = 30,42 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 33,81 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 23·sin 70° = 21,61 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 21,61²/(2·9,81) = 23,81 m

Высота над землёй

H = 10 + 23,81 = 33,81 m

Ответ

H = 33,81 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 29,88 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·130) = 29,88 m/s

Ответ

v_max = 29,88 m/s (107,6 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 48,07 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·28,6 = 561,1 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 0,5·561,1/6,5 + 4,905 = 48,07 N

Ответ

N_bottom = 48,07 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 14,26 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 400 = 1426 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1426·10 = 14265 W = 14,26 kW

Ответ

P = 14,26 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,617 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 39,24·2,5 = 98,1 J

μ·m₁g·d = 0,1·78,48·2,5 = 19,62 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 78,48 → v = √(2·78,48/12) = 3,617 m/s

Ответ

v = 3,617 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 933,9 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,14) = 1,657 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 4,5)·1,657/0,008 = 933,9 m/s

Ответ

v = 933,9 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 33,97 °

Составляющие импульса

p_x = 1700·11 = 18700 kg·m/s

p_y = 1400·9 = 12600 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,6738 → θ = 33,97°

Ответ

θ = 33,97°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 24,22 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 2,5·9,81/(2,5 + 4,25) = 3,633 m/s²

Угловое ускорение

α = a/R = 3,633/0,15 = 24,22 rad/s²

Ответ

α = 24,22 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 67,64 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = 5 + 2·6·0,75² = 11,75 kg·m²

I₂ = 5 + 2·6·0,3² = 6,08 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·11,75/6,08 = 67,64 rpm

Ответ

n₂ = 67,64 rpm

Кинетическая энергия возрастает: дополнительная энергия берётся из работы человека, придвигающего гантели.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 14,04 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 9,549·18/12·0,98 = 14,04 N·m

Ответ

T₂ = 14,04 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 72

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 3000·16/24 = 2000 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 36·2000/1000 = 72

Ответ

N_D = 72

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,837 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Ответ

T = 2,837 s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,9574 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2·9,81/210 = 0,09343 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(210/2) = 10,25 rad/s

v_max = A·ω = 0,09343·10,25 = 0,9574 m/s

Ответ

v_max = 0,9574 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 9,602 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(200000/50) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,3²) = 9,602 Hz

Ответ

f_d = 9,602 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 9,455 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 50 + 100 = 150 kN/m

k_eq = 150·20/(150 + 20) = 17,65 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(17647/5) = 59,41 rad/s

f_n = 59,41/(2π) = 9,455 Hz

Ответ

f_n = 9,455 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics