Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 200 смещён резистором базы R_B = 560 kΩ от источника питания V_CC = 10 V. Резистор коллектора R_C = 2,2 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 10 VR_B = 560 kΩR_C = 2,2 kΩβ = 200V_BE = 0,7 V

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 100 Ω, включённый между V_CC = 5 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Для надёжного переключения рассчитайте ток базы в 10 раз больше минимального, нужного для насыщения. Найдите R_B в kΩ.

V_CC = 5 VR_C = 100 Ωβ = 150V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vкоэффициент запаса = 10

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,6 VV₂ = 1,1 VR₁ = R₃ = 100 kΩR₂ = R₄ = 47 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,4 VV₂ = 1 VR₁ = 2 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 10 ms.

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 150 mHt = 10 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 22,4 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 9 V в 12 V при 40 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 9 VVo = 12 Vf = 40 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 32 V при нагрузке 20 Ω и частоте 500 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 100 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 24 VVo = 32 Vf = 500 kHzC = 100 µFR = 20 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 250 Ω питается напряжением 10 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 122 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 10 VR = 250 ΩV_ab = 122 mV

ΔR = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1,5 mV/V при номинальной нагрузке 200 kg. Напряжение питания — 10 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 40 kg.

1,5 mV/VF_rated = 200 kgV_s = 10 VF = 40 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 7, 9, 11, 12, 14). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 7, 9, 11, 12, 14)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 7, 10, 11, 13) + d(0, 9, 12, 14), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 7, 10, 11, 13) + d(0, 9, 12, 14)

L =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 3,321 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (10 − 0,7)/560 kΩ = 16,61 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 200·16,61 µA = 3,321 mA

Ответ

I_C = 3,321 mA

Проверка: V_CE = 2,693 V заметно больше 0,2 V, значит, транзистор действительно в активном режиме.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 0,8125 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (5 − 0,2)/100 = 48 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 48/150 = 320 µA

Расчётный ток базы

I_B = 10·320 µA = 3200 µA

Резистор базы

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/3,2 mA = 0,8125 kΩ

Ответ

R_B = 0,8125 kΩ

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,235 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,1·47/(100 + 47) = 0,3517 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(0,6 − 0,3517)/100 = (0,3517 − V_out)/47

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (47/100)·(1,1 − 0,6) = 0,235 V

Ответ

V_out = 0,235 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 2,29 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,4/2 = −0,7 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1/4,7 = 0,2128 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,4872 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·(−0,4872) = 2,29 V

Ответ

V_out = 2,29 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 16,55 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

Убывание тока

i(t) = 3·e^−10/10 = 1,104 A

v_R = R·i = 15·1,104 = 16,55 V

Ответ

v_R = 16,55 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 347,4 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 20 + (24 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

22,4 = 20 + (4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22,4 − 20)/(24 − 20) = 0,6

t = τ·ln((24 − 20)/(22,4 − 20)) = 680·ln(1,667) = 347,4 ms

Ответ

t = 347,4 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,3829 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 6 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 8·26/(8+26) = 6,118 Ω

R_eq = R₁ + 6,118 = 20 + 6,118 = 26,12 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/26,12 = 0,3829 A

Ответ

I_R1 = 0,3829 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,743 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 2,308 Ω

R₃ + 2,308 = 14,31 Ω

R₂ ∥ 14,31 = 3,126 Ω

R_eq = R₁ + 3,126 = 10 + 3,126 = 13,13 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,13 = 2,743 A

Ответ

I_R1 = 2,743 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,5625 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 9/12 = 0,25

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 9 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0,25/(100·10⁻⁶·40·10³) = 0,5625 A

Ответ

ΔI_L = 0,5625 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 8 mV

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/32 = 0,25

Ток нагрузки

I_o = 32/20 = 1,6 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 1,6·0,25/(500·10³·100·10⁻⁶) = 8 mV

Ответ

ΔV_o = 8 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 12,5 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 5 + 0,122 = 5,122 V

Решите делитель

R₂ = 250·5,122/(10 − 5,122) = 262,5 Ω

ΔR = 262,5 − 250 = 12,5 Ω

Ответ

ΔR = 12,5 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 3 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1,5·10 = 15 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 15·40/200 = 3 mV

Ответ

V_o = 3 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B + C′ + D)

(A + B + D′)

(A + B′ + D)

(A′ + B + D)

(A′ + B′ + D′)

Минимальная форма POS

F = (B + C′ + D)(A + B + D′)(A + B′ + D)(A′ + B + D)(A′ + B′ + D′)

N = 5

Ответ

N = 5

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 11

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD′, AC′D, A′B′D′, AB′D, A′BC, AB′C, ABC′

Минимальное покрытие

F = CD′ + AC′D + AB′D + A′BC

L = 11

Ответ

L = 11

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1