Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 9,1 V питается от 20 V через 150 Ω и питает нагрузку 1500 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 20 VV_Z = 9,1 VR = 150 ΩR_L = 1500 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 330 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B = 22 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 9 VR_C = 330 Ωβ = 150V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 22 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −1,6 VR₁ = 2 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,3 VV₂ = −0,3 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 48 V в 19,2 V при нагрузке 2,5 Ω. Он переключается с частотой 500 kHz при L = 330 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 48 VVo = 19,2 Vf = 500 kHzL = 330 µHR = 2,5 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 36 V в 25,2 V при 200 kHz и L = 10 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 200 kHzL = 10 µH

I_o,min = A

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 12 VR₁ = 500 ΩR₂ = 300 ΩR₃ = 50 ΩR₄ = 10 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,05) питается напряжением 3 V. Под нагрузкой выход показывает 0,384 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 3 VGF = 2,05V_o = 0,384 mV

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(5, 8, 11, 12, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 11, 14) + d(8, 9), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 6, 11, 14) + d(8, 9)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 66,6 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 10,9/150 = 72,67 mA

Ток нагрузки

I_L = 9,1/1500 = 6,067 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 72,67 − 6,067 = 66,6 mA

Ответ

I_Z = 66,6 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 17,73 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (3,3 − 0,7)/22 kΩ = 118,2 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B меньше I_C(sat), поэтому транзистор остаётся в активном режиме.

β·I_B = 17,73 mA

I_C(sat) = (9 − 0,2)/330 = 26,67 mA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 17,73 mA

Ответ

I_C = 17,73 mA

Транзистор в активном режиме, поэтому нагрузка включена не полностью.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −5,36 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −1,6 V

I = V₋/R₁ = −1,6/2 = −0,8 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1,6 + (−0,8)·4,7 = −5,36 V

Ответ

V_out = −5,36 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −1,236 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,3/4,7 = 0,2766 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,3/22 = −0,01364 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,263 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·0,263 = −1,236 V

Ответ

V_out = −1,236 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,7358 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

Убывание тока

i(t) = 2·e^−1/1 = 0,7358 A

Ответ

i = 0,7358 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,4345 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 15/(33 + 33) = 0,2273 A

i(∞) = 15/33 = 0,4545 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,4545 + (0,2273 − 0,4545)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 0,4545 + (−0,2273)·e^−5/2,061 = 0,4345 A

Ответ

i = 0,4345 A

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8225 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 4·17/(4+17) = 3,238 Ω

R_eq = R₁ + 3,238 = 15 + 3,238 = 18,24 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,24 = 0,8225 A

Ответ

I_R1 = 0,8225 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 22,12 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 15,38 Ω

R₃ + 15,38 = 45,38 Ω

R₂ ∥ 45,38 = 16,12 Ω

R_eq = R₁ + 16,12 = 6 + 16,12 = 22,12 Ω

Ответ

R_eq = 22,12 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 7,715 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 19,2/48 = 0,4

Средний ток и пульсации тока

I_o = 19,2/2,5 = 7,68 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 28,8·0,4/(330·10⁻⁶·500·10³) = 0,06982 A

Пиковый ток

I_max = 7,68 + 0,06982/2 = 7,715 A

Ответ

I_max = 7,715 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 1,89 A

Коэффициент заполнения

D = 25,2/36 = 0,7

Пульсации тока

ΔI_L = 25,2·0,3/(10·10⁻⁶·200·10³) = 3,78 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 1,89 A

Ответ

I_o,min = 1,89 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 195,8 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 500·300/800 = 187,5 Ω

R₃∥R₄ = 50·10/60 = 8,333 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 195,8 Ω

Ответ

R_th = 195,8 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 249,8 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,000384/(3·2,05) = 0,0002498

В микродеформациях

ε = 249,8 µε

Ответ

ε = 249,8 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 10, CD = 11

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m11: m10, m9, m15, m3 → 0

Изолированная единица

m11 = AB′CD → AB = 10, CD = 11

Ответ

AB = 10, CD = 11

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D′, BCD′, A′CD′, A′B′D′, AB′D, A′BC′D

Существенные простые импликанты

BCD′, AB′D, A′BC′D

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1