Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 150 смещён делителем напряжения от V_CC = 15 V: R₁ = 47 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 12 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, резистор эмиттера R_E = 680 Ω. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 15 VR₁ = 47 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 3,3 kΩR_E = 680 Ωβ = 150

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,65 V последовательно с 20 Ω (он проводит выше 0,65 V). Он включён последовательно с резистором 330 Ω к источнику 12 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 12 VR = 330 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 20 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 0,5 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 200 ms.

V_in = 0,5 VR = 22 kΩC = 4,7 µFV_sat = ±12 Vt = 200 ms

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 15 ms.

V_s = 20 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 15 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,313 A? Найдите t.

V_s = 12 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 48 V при 250 kHz и L = 22 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 24 VVo = 48 Vf = 250 kHzL = 22 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 12 V в 6 V при 40 kHz и L = 330 µH. Найдите выходную ёмкость C, при которой размах пульсаций выходного напряжения ограничен 20 mV.

Vin = 12 VVo = 6 Vf = 40 kHzL = 330 µHΔV_o = 20 mV

C = µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 120 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 120 Ω и напряжением питания 6 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 6 VR = 120 Ω

P_g = mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост (один активный тензорезистор, GF = 2,05) питается напряжением 3 V. Наибольшая измеряемая деформация составляет 200 µε, и она должна давать 5 V на входе аналого-цифрового преобразователя. Найдите коэффициент усиления усилителя G.

V_s = 3 VGF = 2,05ε_max = 200 µεV_FS = 5 V

G =

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′B′C′ + B′C′ + ABC до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′B′C′ + B′C′ + ABC

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(2, 7, 8, 12, 15) + d(0, 1, 4, 13, 14), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 7, 8, 12, 15) + d(0, 1, 4, 13, 14)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 2,482 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 15·12/(47 + 12) = 3,051 V

R_TH = 47·12/(47 + 12) = 9,559 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (3,051 − 0,7)/(9,559 + 151·0,68) = 20,94 µA

Ток коллектора

I_C = 150·20,94 µA = 3,142 mA

I_E = 151·20,94 µA = 3,163 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 15 − 3,142·3,3 − 3,163·0,68 = 2,482 V

Ответ

V_CE = 2,482 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 32,43 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

12 = 0,65 + I·(330 + 20)

Рабочий ток

I_D = 11,35/350 = 32,43 mA

V_D = 0,65 + 0,03243·20 = 1,299 V

Ответ

I_D = 32,43 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 6,11 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 100/47 = 2,128

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/2,128 = 6,11 V

Ответ

V_in,max = 6,11 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,9671 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 22 kΩ · 4,7 µF = 103,4 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −0,5/103,4 = −0,004836 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −0,5·200/103,4 = −0,9671 V

Ответ

V_out = −0,9671 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 7,358 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 20/10 = 2 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−15/15 = 7,358 V

Ответ

v_L = 7,358 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,124 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 12/33 = 0,3636 A

i(∞) = 12/(33 + 10) = 0,2791 A

τ = L/R = 100/43 = 2,326 ms

i(t) = 0,2791 + (0,3636 − 0,2791)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,313 − 0,2791)/(0,3636 − 0,2791) = 0,4012

t = 2,326·ln(2,492) = 2,124 ms

Ответ

t = 2,124 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,862 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 2·27/(2+27) = 1,862 Ω

R_eq = R₁ + 1,862 = 5 + 1,862 = 6,862 Ω

Ответ

R_eq = 6,862 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,4454 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 13,84 Ω

R₃ + 13,84 = 17,84 Ω

R₂ ∥ 17,84 = 10,41 Ω

R_eq = R₁ + 10,41 = 30 + 10,41 = 40,41 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/40,41 = 0,4454 A

Ответ

I_R1 = 0,4454 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 2,182 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/48 = 0,5

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 24 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 24·0,5/(22·10⁻⁶·250·10³) = 2,182 A

Ответ

ΔI_L = 2,182 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: C = 35,51 µF

Коэффициент заполнения

D = 6/12 = 0,5

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (12 − 6)·0,5/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,2273 A

Ёмкость

C = 0,2273/(8·40·10³·20·10⁻³) = 35,51 µF

Ответ

C = 35,51 µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 75 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 6/2 = 3 V

Мощность

P_g = 3²/120 = 75 mW

Ответ

P_g = 75 mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: G = 16260

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход моста при полной шкале

V_o = 0,3075 mV

Коэффициент усиления

G = 5/0,0003075 = 16260

Ответ

G = 16260

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 5

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′B′C′ → m(0)

B′C′ → m(0, 4)

ABC → m(7)

Сгруппируйте и прочитайте

F = B′C′ + ABC

Посчитайте литералы

L = 5

Ответ

L = 5

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

C′D′, BCD, AB, A′B′D′

Существенные простые импликанты

C′D′, BCD, A′B′D′

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1