Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 80 смещён делителем напряжения от V_CC = 20 V: R₁ = 82 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 12 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,7 kΩ, резистор эмиттера R_E = 1,5 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 20 VR₁ = 82 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 2,7 kΩR_E = 1,5 kΩβ = 80

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 470 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите наибольшее сопротивление резистора базы R_B, в kΩ, при котором транзистор ещё входит в насыщение.

V_CC = 9 VR_C = 470 Ωβ = 150V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 V

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1,4 VR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,9 VV₂ = 0,7 VR₁ = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 120 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 100 µFt = 120 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 120 ms.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 120 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 36 V в 18 V при 250 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 36 VVo = 18 Vf = 250 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 9 V в 18 V при нагрузке 2 Ω и частоте 40 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 22 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 9 VVo = 18 Vf = 40 kHzC = 22 µFR = 2 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 500 Ω и V_s = 2 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 25 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 2 VR = 500 ΩΔR = 25 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор (GF = 2,05) на элементе с E = 110 GPa образует четвертьмост с напряжением питания 3 V. Выход показывает 0,615 mV. Найдите осевое напряжение σ в MPa.

V_s = 3 VGF = 2,05V_o = 0,615 mVE = 110 GPa

σ = MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′B + ABC + AB до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′B + ABC + AB

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Синхронный счётчик по модулю 9 считает 0, 1, …, 8, а затем возвращается к 0. Он начинает с 2. Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 14 тактовых импульсов?

Q₀ = 214N = 9

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 15,26 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 20·12/(82 + 12) = 2,553 V

R_TH = 82·12/(82 + 12) = 10,47 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,553 − 0,7)/(10,47 + 81·1,5) = 14,04 µA

Ток коллектора

I_C = 80·14,04 µA = 1,123 mA

I_E = 81·14,04 µA = 1,137 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 20 − 1,123·2,7 − 1,137·1,5 = 15,26 V

Ответ

V_CE = 15,26 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 20,83 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (9 − 0,2)/470 = 18,72 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 18,72/150 = 124,8 µA

Резистор базы

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/0,1248 mA = 20,83 kΩ

Ответ

R_B = 20,83 kΩ

Любой меньший резистор базы тоже насыщает транзистор; на практике выбирают в несколько раз меньший.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 2,8 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 1,4 V

I = V₋/R₁ = 1,4/10 = 0,14 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,4 + 0,14·10 = 2,8 V

Ответ

V_out = 2,8 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,282 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,9/100 = −0,019 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,7/22 = 0,03182 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,01282 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −22·0,01282 = −0,282 V

Ответ

V_out = −0,282 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,23 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·6,8/(6,8 + 6,8) = 3,4 kΩ

v_C(∞) = 15·6,8/(6,8 + 6,8) = 7,5 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 3,4·100 = 340 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 7,5·(1 − e^−120/340) = 2,23 V

Ответ

v_C = 2,23 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 16,24 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 20 + (8 − 20)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(120) = 20 + (−12)·e^−120/103,4 = 16,24 V

Ответ

v_C = 16,24 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,7174 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω

R_eq = R₁ + 5,091 = 20 + 5,091 = 25,09 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/25,09 = 0,7174 A

Ответ

I_R1 = 0,7174 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6661 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3,684 Ω

R₃ + 3,684 = 15,68 Ω

R₂ ∥ 15,68 = 2,518 Ω

R_eq = R₁ + 2,518 = 20 + 2,518 = 22,52 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/22,52 = 0,6661 A

Ответ

I_R1 = 0,6661 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,36 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 18/36 = 0,5

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится между V_in и V_o.

V_L = 36 − 18 = 18 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 18·0,5/(100·10⁻⁶·250·10³) = 0,36 A

Ответ

ΔI_L = 0,36 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 5114 mV

Коэффициент заполнения

D = 1 − 9/18 = 0,5

Ток нагрузки

I_o = 18/2 = 9 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 9·0,5/(40·10³·22·10⁻⁶) = 5114 mV

Ответ

ΔV_o = 5114 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 24,39 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 2·525/1025 = 1,024 V

V_b = 1 V

Выделение

V_ab = 24,39 mV

Ответ

V_ab = 24,39 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 25 mV завышена на 2,5 %: четвертьмост не совсем линеен.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: σ = 44 MPa

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Деформация

ε = 4·0,000615/(3·2,05) = 0,0004

Напряжение

σ = 110·10³ MPa·0,0004 = 44 MPa

Ответ

σ = 44 MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 1

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′B → m(2, 3)

ABC → m(7)

AB → m(6, 7)

Сгруппируйте и прочитайте

F = B

Посчитайте литералы

L = 1

Ответ

L = 1

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 7

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 9 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

14 = 1·9 + 5

Значение после оставшихся импульсов

Q = (2 + 5) mod 9 = 7

Q = 0111₂

Ответ

Q = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1