Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V питается от 15 V через 680 Ω и питает нагрузку 1500 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 15 VV_Z = 5,1 VR = 680 ΩR_L = 1500 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 50 коммутирует нагрузочный резистор 220 Ω, включённый между V_CC = 24 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите наибольшее сопротивление резистора базы R_B, в kΩ, при котором транзистор ещё входит в насыщение.

V_CC = 24 VR_C = 220 Ωβ = 50V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 V

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 2,6 VV₂ = 3 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,9 VV₂ = −0,5 VR₁ = 1 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 5 ms.

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 10,5 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 48 V в 120 V при 250 kHz и L = 330 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 48 VVo = 120 Vf = 250 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 15 V в 50 V при нагрузке 5 Ω и частоте 20 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = 50 Vf = 20 kHzR = 5 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 500 Ω и V_s = 6 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 1,25 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 6 VR = 500 ΩΔR = 1,25 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор 350 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,28 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 350 ΩGF = 2ΔR = 0,28 Ω

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

У мультиплексора 4 в 1 адресные входы S₁ = A и S₀ = B, а информационные входы подключены так: I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = 1, I₃ = 1. Для скольких из 8 комбинаций A, B и C выход F = 1? Найдите N.

I₀ = 0I₁ = CI₂ = 1I₃ = 1

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Триггер D, срабатывающий по переднему фронту, начинает с Q = 0 и получает показанные входы. Нажмите на первый фронт тактового сигнала, на котором Q возвращается из 1 в 0.

Q₀ = 0D

1фронт тактового сигнала 1
2фронт тактового сигнала 2
3фронт тактового сигнала 3
4фронт тактового сигнала 4
5фронт тактового сигнала 5
6фронт тактового сигнала 6
7фронт тактового сигнала 7

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 11,16 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 9,9/680 = 14,56 mA

Ток нагрузки

I_L = 5,1/1500 = 3,4 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 14,56 − 3,4 = 11,16 mA

Ответ

I_Z = 11,16 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 1,987 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (24 − 0,2)/220 = 108,2 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 108,2/50 = 2164 µA

Резистор базы

R_B = (5 − 0,7)/I_B = 4,3 V/2,164 mA = 1,987 kΩ

Ответ

R_B = 1,987 kΩ

Любой меньший резистор базы тоже насыщает транзистор; на практике выбирают в несколько раз меньший.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 2 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 3·10/(2 + 10) = 2,5 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(2,6 − 2,5)/2 = (2,5 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/2)·(3 − 2,6) = 2 V

Ответ

V_out = 2 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −8,88 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,9/1 = 1,9 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,5/47 = −0,01064 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,889 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·1,889 = −8,88 V

Ответ

V_out = −8,88 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 6,083 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms

Убывание тока

i(t) = 2·e^−5/3,133 = 0,4055 A

v_R = R·i = 15·0,4055 = 6,083 V

Ответ

v_R = 6,083 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 69,31 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (15 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

10,5 = 6 + (9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,5 − 6)/(15 − 6) = 0,5

t = τ·ln((15 − 6)/(10,5 − 6)) = 100·ln(2) = 69,31 ms

Ответ

t = 69,31 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,529 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 12·5/(12+5) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 5 + 3,529 = 8,529 Ω

Ответ

R_eq = 8,529 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9321 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 12 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 10,47 Ω

R₃ + 10,47 = 16,47 Ω

R₂ ∥ 16,47 = 2,538 Ω

R_eq = R₁ + 2,538 = 2 + 2,538 = 4,538 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/4,538 = 1,102 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 1,102·2 = 2,796 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,796/3 = 0,9321 A

Ответ

I_R2 = 0,9321 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,3491 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 48/120 = 0,6

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 48 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 48·0,6/(330·10⁻⁶·250·10³) = 0,3491 A

Ответ

ΔI_L = 0,3491 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 7,875 µH

Коэффициент заполнения

D = 1 − 15/50 = 0,7

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = 0,7(1 − 0,7)²·5/(220·10³) = 7,875 µH

Ответ

L_crit = 7,875 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 3,75 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 1,25/500 = 0,0025

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 6·0,0025/4 = 3,75 mV

Ответ

V_ab = 3,75 mV

Точное значение равно 3,745 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 400 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,28/350 = 0,0008

Деформация

ε = 0,0008/2 = 0,0004 = 400 µε

Ответ

ε = 400 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ в 1 передаёт на выход один из своих информационных входов; адресные входы, читаемые как двоичное число, выбирают, какой именно. Для мультиплексора 4 в 1 с адресами S₁S₀ = AB: F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Если подключить информационные входы к 0, 1, C или C′, мультиплексор реализует любую функцию от A, B и C, что — распространённый способ построить логику на одной микросхеме.

Выражение выхода

F = A′BC + AB′ + AB

Строки с F = 1

ABC = 011, 100, 101, 110, 111

N = 5

Ответ

N = 5

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: фронт тактового сигнала 7

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Q после каждого фронта

D-триггер копирует D по каждому переднему фронту: Q⁺ = D.

1: D = 0 → Q = 0

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

Первое изменение с 1 на 0

фронт тактового сигнала 7

Ответ

фронт тактового сигнала 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1