Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 80 смещён делителем напряжения от V_CC = 15 V: R₁ = 22 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 6,8 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,2 kΩ, резистор эмиттера R_E = 1,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 15 VR₁ = 22 kΩR₂ = 6,8 kΩR_C = 2,2 kΩR_E = 1,2 kΩβ = 80

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,65 V последовательно с 5 Ω (он проводит выше 0,65 V). Он включён последовательно с резистором 100 Ω к источнику 12 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 12 VR = 100 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 5 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 1 kΩR_f = 2 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Найдите общий коэффициент усиления по напряжению A_v = V_out/V_in.

R₁ = 1 kΩR_f1 = 2 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f2 = 4,7 kΩ

A_v =

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 20 ms.

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 20 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 6 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 6 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 15 V в 50 V при нагрузке 12 Ω. Найдите средний ток катушки I_L.

Vin = 15 VVo = 50 VR = 12 Ω

I_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −15 V при нагрузке 25 Ω и частоте 250 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = −15 Vf = 250 kHzR = 25 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 500 Ω и V_s = 3 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 50 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 3 VR = 500 ΩΔR = 50 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 350 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: два активных тензорезистора в соседних плечах, один на растяжение и один на сжатие (полумост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 1200 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2ε = 1200 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 5, 6, 7). Сколько всего литералов, L, она содержит (переменная со штрихом считается одним литералом)?

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4, 5, 6, 7)

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 9, 10, 11, 14) + d(7, 8, 15), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 9, 10, 11, 14) + d(7, 8, 15)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 7,418 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 15·6,8/(22 + 6,8) = 3,542 V

R_TH = 22·6,8/(22 + 6,8) = 5,194 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (3,542 − 0,7)/(5,194 + 81·1,2) = 27,75 µA

Ток коллектора

I_C = 80·27,75 µA = 2,22 mA

I_E = 81·27,75 µA = 2,248 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 15 − 2,22·2,2 − 2,248·1,2 = 7,418 V

Ответ

V_CE = 7,418 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 108,1 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

12 = 0,65 + I·(100 + 5)

Рабочий ток

I_D = 11,35/105 = 108,1 mA

V_D = 0,65 + 0,1081·5 = 1,19 V

Ответ

I_D = 108,1 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 6,5 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 2/1 = 2

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/2 = 6,5 V

Ответ

V_in,max = 6,5 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: A_v = −4

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −2/1 = −2

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4,7/4,7 = 2

Общий коэффициент усиления

A_v = A₁·A₂ = −2·2 = −4

Ответ

A_v = −4

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 0,812 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0,4 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−20/10 = 0,812 V

Ответ

v_L = 0,812 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 12,93 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 15 + (6 − 15)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 15 + (−9)·e^−100/68 = 12,93 V

Ответ

v_C = 12,93 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 22,91 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10,91 Ω

R_eq = R₁ + 10,91 = 12 + 10,91 = 22,91 Ω

Ответ

R_eq = 22,91 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,783 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 6,171 Ω

R₃ + 6,171 = 14,17 Ω

R₂ ∥ 14,17 = 5,863 Ω

R_eq = R₁ + 5,863 = 4 + 5,863 = 9,863 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,863 = 3,042 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,042·4 = 17,83 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17,83/10 = 1,783 A

Ответ

I_R2 = 1,783 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_L = 13,89 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 15/50 = 0,7

Ток нагрузки

I_o = 50/12 = 4,167 A

Ток катушки

I_L = I_o/(1 − D) = 4,167/0,3 = 13,89 A

Ответ

I_L = 13,89 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 12,5 µH

Коэффициент заполнения

D = 15/(15 + 15) = 0,5

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,5)²·25/(2250·10³) = 12,5 µH

Ответ

L_crit = 12,5 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 71,43 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 3·550/1050 = 1,571 V

V_b = 1,5 V

Выделение

V_ab = 71,43 mV

Ответ

V_ab = 71,43 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 75 mV завышена на 5 %: четвертьмост не совсем линеен.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 3 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0,0024

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε/2 = 2,5·0,0024/2 = 3 mV

Ответ

V_o = 3 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

Минимальная форма SOP

F = B + A

L = 2

Ответ

L = 2

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′D′, B′C′, AC, A′C′D, AB′, A′BD

Минимальное покрытие

F = B′D′ + B′C′ + AC + A′C′D

N = 4

Ответ

N = 4

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1