Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 9,1 V питается от 18 V через 100 Ω и питает нагрузку 470 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 18 VV_Z = 9,1 VR = 100 ΩR_L = 470 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 80 коммутирует нагрузочный резистор 150 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 9 VR_C = 150 Ωβ = 80V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 2,2 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,6 VV₂ = 1,8 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 1 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,5 VV₂ = 0,7 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 2 kΩ

I_f = mA

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 6,4 V? Найдите t.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −10 V при 40 kHz и L = 330 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 15 VVo = −10 Vf = 40 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 48 V в 14,4 V при 200 kHz и L = 220 µH. Найдите выходную ёмкость C, при которой размах пульсаций выходного напряжения ограничен 100 mV.

Vin = 48 VVo = 14,4 Vf = 200 kHzL = 220 µHΔV_o = 100 mV

C = µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 200 Ω и V_s = 9 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 0,8 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 9 VR = 200 ΩΔR = 0,8 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2) питается напряжением 10 V. Под нагрузкой выход показывает 1,25 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 10 VGF = 2V_o = 1,25 mV

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = AC′ + AC + BC′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = AC′ + AC + BC′

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный кольцевой счётчик Q₃Q₂Q₁Q₀ начинает с 1000. По каждому фронту тактового сигнала биты сдвигаются на одну позицию вправо (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀), а Q₃ получает Q₀. Укажите состояние Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ в виде десятичного числа после 11 фронтов тактового сигнала.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 100011

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 69,64 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 8,9/100 = 89 mA

Ток нагрузки

I_L = 9,1/470 = 19,36 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 89 − 19,36 = 69,64 mA

Ответ

I_Z = 69,64 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 58,67 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (5 − 0,7)/2,2 kΩ = 1955 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B больше I_C(sat), поэтому транзистор насыщается.

β·I_B = 156,4 mA

I_C(sat) = (9 − 0,2)/150 = 58,67 mA

Ток коллектора

I_C = I_C(sat) = 58,67 mA

Ответ

I_C = 58,67 mA

Транзистор насыщен.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,6 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,8·1/(2 + 1) = 0,6 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(0,6 − 0,6)/2 = (0,6 − V_out)/1

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (1/2)·(1,8 − 0,6) = 0,6 V

Ответ

V_out = 0,6 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,7351 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,5/2 = −0,75 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,7/47 = 0,01489 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,7351 mA

Ответ

I_f = −0,7351 mA

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 9,561 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Выразите время

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −3,191·ln(0,05) = 9,561 ms

Ответ

t = 9,561 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 34,74 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 10 + (4 − 10)·e^−t/τ

Выразите время

6,4 = 10 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6,4 − 10)/(4 − 10) = 0,6

t = τ·ln((4 − 10)/(6,4 − 10)) = 68·ln(1,667) = 34,74 ms

Ответ

t = 34,74 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6762 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 2 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω

R_eq = R₁ + 2,182 = 20 + 2,182 = 22,18 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/22,18 = 0,6762 A

Ответ

I_R1 = 0,6762 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,3535 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4 Ω

R₃ + 4 = 29 Ω

R₂ ∥ 29 = 4,971 Ω

R_eq = R₁ + 4,971 = 12 + 4,971 = 16,97 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/16,97 = 0,3535 A

Ответ

I_R1 = 0,3535 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,4545 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 10/(15 + 10) = 0,4

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 15 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0,4/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0,4545 A

Ответ

ΔI_L = 0,4545 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: C = 1,432 µF

Коэффициент заполнения

D = 14,4/48 = 0,3

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (48 − 14,4)·0,3/(220·10⁻⁶·200·10³) = 0,2291 A

Ёмкость

C = 0,2291/(8·200·10³·100·10⁻³) = 1,432 µF

Ответ

C = 1,432 µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 9 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 0,8/200 = 0,004

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 9·0,004/4 = 9 mV

Ответ

V_ab = 9 mV

Точное значение равно 8,982 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 250 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,00125/(10·2) = 0,00025

В микродеформациях

ε = 250 µε

Ответ

ε = 250 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 3

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

AC′ → m(4, 6)

AC → m(5, 7)

BC′ → m(2, 6)

Сгруппируйте и прочитайте

F = BC′ + A

Посчитайте литералы

L = 3

Ответ

L = 3

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 1

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Состояние после каждого фронта

1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000 → 0100 → 0010 → 0001

Десятичное значение

0001₂ = 1

Ответ

Q = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1