Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 5,6 V питается от 20 V через 680 Ω и питает нагрузку 680 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 20 VV_Z = 5,6 VR = 680 ΩR_L = 680 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 200 коммутирует нагрузочный резистор 220 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Для надёжного переключения рассчитайте ток базы в 10 раз больше минимального, нужного для насыщения. Найдите R_B в kΩ.

V_CC = 9 VR_C = 220 Ωβ = 200V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vкоэффициент запаса = 10

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 0,9 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.

V_in = 0,9 VR = 1 kΩC = 4,7 µFV_sat = ±14 V

t = ms

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 30 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 10,5 V при 25 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 15 VVo = 10,5 Vf = 25 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 48 V в 14,4 V при нагрузке 25 Ω и частоте 500 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 48 VVo = 14,4 Vf = 500 kHzR = 25 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 500 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 9 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 9 VR₁ = 50 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 50 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1,5 mV/V при номинальной нагрузке 200 kg. Напряжение питания — 12 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 150 kg.

1,5 mV/VF_rated = 200 kgV_s = 12 VF = 150 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 14, 15). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 14, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный счётчик Джонсона Q₃Q₂Q₁Q₀ начинает с 0000. По каждому фронту тактового сигнала биты сдвигаются на одну позицию вправо (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀), а Q₃ получает инверсию Q₀. Укажите состояние Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ в виде десятичного числа после 6 фронтов тактового сигнала.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00006

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 12,94 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 14,4/680 = 21,18 mA

Ток нагрузки

I_L = 5,6/680 = 8,235 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 21,18 − 8,235 = 12,94 mA

Ответ

I_Z = 12,94 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 1,3 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (9 − 0,2)/220 = 40 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 40/200 = 200 µA

Расчётный ток базы

I_B = 10·200 µA = 2000 µA

Резистор базы

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/2 mA = 1,3 kΩ

Ответ

R_B = 1,3 kΩ

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 2,766 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 47/10 = 4,7

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/4,7 = 2,766 V

Ответ

V_in,max = 2,766 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: t = 73,11 ms

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 1 kΩ · 4,7 µF = 4,7 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −0,9/4,7 = −0,1915 V/ms

Время до насыщения

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·4,7/0,9 = 73,11 ms

Ответ

t = 73,11 ms

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,227 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,2273·(1 − e^−1/1) = 0,1437 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·22·0,1437² = 0,227 mJ

Ответ

W = 0,227 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 23,68 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 20 + (10)·e^−100/100 = 23,68 V

Ответ

v_C = 23,68 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 24 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 20 + 4 = 24 Ω

Ответ

R_eq = 24 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,347 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 5 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 12,5 Ω

R₂ ∥ 12,5 = 1,724 Ω

R_eq = R₁ + 1,724 = 25 + 1,724 = 26,72 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/26,72 = 1,347 A

Ответ

I_R1 = 1,347 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,5727 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 10,5/15 = 0,7

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится между V_in и V_o.

V_L = 15 − 10,5 = 4,5 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 4,5·0,7/(220·10⁻⁶·25·10³) = 0,5727 A

Ответ

ΔI_L = 0,5727 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 17,5 µH

Коэффициент заполнения

D = 14,4/48 = 0,3

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,3)·25/(2500·10³) = 17,5 µH

Ответ

L_crit = 17,5 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = −2110 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 9·(10/60 − 50/170) = −1,147 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 43,63 Ω

Ток гальванометра

I_g = −1,147/(43,63 + 500) = −2110 µA

Ответ

I_g = −2110 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 13,5 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1,5·12 = 18 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 18·150/200 = 13,5 mV

Ответ

V_o = 13,5 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(A + D′)

(A′ + C)

(A′ + B)

(A + B′ + C′)

Минимальная форма POS

F = (A + D′)(A′ + C)(A′ + B)(A + B′ + C′)

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 3

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Состояние после каждого фронта

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011

Десятичное значение

0011₂ = 3

Ответ

Q = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1