Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Светодиодов: 2 (красные), прямое напряжение 2 V у каждого; они соединены последовательно с резистором к источнику 5 V. Найдите сопротивление R, при котором ток равен 15 mA.

V_s = 5 VV_F = 2 Vn = 2I = 15 mA

R = Ω

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 9,1 V имеет последовательный резистор 330 Ω. Входное напряжение может подниматься до 24 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 24 VV_Z = 9,1 VR = 330 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −0,5 VR_a = 1 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,9 VV₂ = −0,1 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 10 ms, в mJ.

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 1000 ms.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 Vt = 1000 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 48 V в 14,4 V при 40 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 48 VVo = 14,4 Vf = 40 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −10 V при нагрузке 4 Ω и частоте 20 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 100 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 15 VVo = −10 Vf = 20 kHzC = 100 µFR = 4 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 150 Ω и V_s = 12 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 1,5 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 12 VR = 150 ΩΔR = 1,5 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 3 mV/V при номинальной нагрузке 1000 kg. Напряжение питания — 10 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 600 kg.

3 mV/VF_rated = 1000 kgV_s = 10 VF = 600 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(2, 3, 4, 9, 11, 14, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный двоичный вычитающий счётчик начинает с 4 (в десятичном виде, Q = 0100). Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 25 тактовых импульсов?

Q₀ = 425n = 4

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: R = 66,67 Ω

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напряжение на резисторе

V_R = 5 − 2·2 = 1 V

Сопротивление

R = 1/0,015 = 66,67 Ω

Ответ

R = 66,67 Ω

Резистор рассеивает 15 mW.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 410,9 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 14,9/330 = 45,15 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 9,1·45,15 = 410,9 mW

Ответ

P_Z,max = 410,9 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,781 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −0,5·47/(1 + 47) = −0,4896 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0,4896·(1 + 22/4,7) = −2,781 V

Ответ

V_out = −2,781 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,2915 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −0,9/4,7 = −0,1915 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,1/1 = −0,1 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,2915 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −1·(−0,2915) = 0,2915 V

Ответ

V_out = 0,2915 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 7,965 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0,3 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,3·(1 − e^−10/4,4) = 0,2691 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·220·0,2691² = 7,965 mJ

Ответ

W = 7,965 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,557 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 10 + (3 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(1000) = 10 + (−7)·e^−1000/2200 = 5,557 V

Ответ

v_C = 5,557 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,45 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 8 + 5,455 = 13,45 Ω

Ответ

R_eq = 13,45 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,504 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 6 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 7,636 Ω

R₃ + 7,636 = 17,64 Ω

R₂ ∥ 17,64 = 5,504 Ω

R_eq = R₁ + 5,504 = 3 + 5,504 = 8,504 Ω

Ответ

R_eq = 8,504 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,145 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 14,4/48 = 0,3

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится между V_in и V_o.

V_L = 48 − 14,4 = 33,6 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 33,6·0,3/(220·10⁻⁶·40·10³) = 1,145 A

Ответ

ΔI_L = 1,145 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 500 mV

Коэффициент заполнения

D = 10/(15 + 10) = 0,4

Ток нагрузки

I_o = 10/4 = 2,5 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 2,5·0,4/(20·10³·100·10⁻⁶) = 500 mV

Ответ

ΔV_o = 500 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 30 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 1,5/150 = 0,01

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 12·0,01/4 = 30 mV

Ответ

V_ab = 30 mV

Точное значение равно 29,85 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 18 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

3·10 = 30 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 30·600/1000 = 18 mV

Ответ

V_o = 18 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 01, CD = 00

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m4: m5, m6, m0, m12 → 0

Изолированная единица

m4 = A′BC′D′ → AB = 01, CD = 00

Ответ

AB = 01, CD = 00

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 11

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 16 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

25 = 1·16 + 9

Значение после оставшихся импульсов

Q = (4 − 9) mod 16 = 11

Q = 1011₂

Ответ

Q = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1