Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 200 смещён делителем напряжения от V_CC = 15 V: R₁ = 82 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 15 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,7 kΩ, резистор эмиттера R_E = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 15 VR₁ = 82 kΩR₂ = 15 kΩR_C = 2,7 kΩR_E = 2,2 kΩβ = 200

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V имеет последовательный резистор 680 Ω. Входное напряжение может подниматься до 30 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 30 VV_Z = 5,1 VR = 680 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,1 VV₂ = 0,9 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 22 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 47 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 2 ms.

i(0) = 1 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 5 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 8 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 9 V в 4,5 V при частоте переключения 250 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 2 A.

Vin = 9 VVo = 4,5 Vf = 250 kHzΔI_L = 2 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 15 V в 7,5 V при 250 kHz и L = 22 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = 7,5 Vf = 250 kHzL = 22 µH

I_o,min = A

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 500 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 500 Ω и напряжением питания 5 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 5 VR = 500 Ω

P_g = mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 3 V; конфигурация: один активный тензорезистор (четвертьмост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,1, деформация — 1000 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 3 VGF = 2,1ε = 1000 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C) = Σm(2, 3, 5). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 5)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 9, 13) + d(0, 11, 14, 15), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 9, 13) + d(0, 11, 14, 15)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 0,7121 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 15·15/(82 + 15) = 2,32 V

R_TH = 82·15/(82 + 15) = 12,68 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,32 − 0,7)/(12,68 + 201·2,2) = 3,56 µA

Ток коллектора

I_C = 200·3,56 µA = 0,7121 mA

I_E = 201·3,56 µA = 0,7157 mA

Ответ

I_C = 0,7121 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 186,7 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 24,9/680 = 36,62 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 5,1·36,62 = 186,7 mW

Ответ

P_Z,max = 186,7 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 1,273 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 22/2 = 11

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/11 = 1,273 V

Ответ

V_in,max = 1,273 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 4,538 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,9·47/(1 + 47) = 0,8813 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(22/4,7)·0,1 + (1 + 22/4,7)·0,8813 = −0,4681 + 5,006 = 4,538 V

Ответ

V_out = 4,538 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2976 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Убывание тока

i(t) = 1·e^−2/1,65 = 0,2976 A

Ответ

i = 0,2976 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 6,921 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 5 + (3)·e^−100/224,4 = 6,921 V

Ответ

v_C = 6,921 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,455 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω

R_eq = R₁ + 2,222 = 10 + 2,222 = 12,22 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12,22 = 2,455 A

Ответ

I_R1 = 2,455 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3493 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 6,667 Ω

R₃ + 6,667 = 21,67 Ω

R₂ ∥ 21,67 = 2,635 Ω

R_eq = R₁ + 2,635 = 20 + 2,635 = 22,64 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/22,64 = 0,3976 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3976·20 = 1,048 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,048/3 = 0,3493 A

Ответ

I_R2 = 0,3493 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 4,5 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 4,5/9 = 0,5

Индуктивность

L = 4,5·0,5/(2·250·10³) = 4,5 µH

Ответ

L = 4,5 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 0,3409 A

Коэффициент заполнения

D = 7,5/15 = 0,5

Пульсации тока

ΔI_L = 7,5·0,5/(22·10⁻⁶·250·10³) = 0,6818 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 0,3409 A

Ответ

I_o,min = 0,3409 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 12,5 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 5/2 = 2,5 V

Мощность

P_g = 2,5²/500 = 12,5 mW

Ответ

P_g = 12,5 mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 1,575 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,1·1000·10⁻⁶ = 0,0021

Выход моста

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 3·0,0021/4 = 1,575 mV

Ответ

V_o = 1,575 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B + C)

(A + B)

(A′ + B′)

Минимальная форма POS

F = (B + C)(A + B)(A′ + B′)

N = 3

Ответ

N = 3

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

C′D, B′D, AD, A′B′C′

Минимальное покрытие

F = C′D + B′D

N = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1