Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 80 смещён резистором базы R_B = 820 kΩ от источника питания V_CC = 12 V. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 12 VR_B = 820 kΩR_C = 3,3 kΩβ = 80V_BE = 0,7 V

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V имеет последовательный резистор 150 Ω. Входное напряжение может подниматься до 26 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 26 VV_Z = 5,1 VR = 150 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1,5 VR_a = 22 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 4,7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,4 VV₂ = 1,6 VR₁ = 1 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 12 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 12 V в 48 V при 500 kHz и L = 47 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 12 VVo = 48 Vf = 500 kHzL = 47 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 24 V в 6 V при нагрузке 12 Ω и частоте 100 kHz, при L = 68 µH и C = 470 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 24 VVo = 6 Vf = 100 kHzL = 68 µHC = 470 µF

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 200 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 10 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 10 VR₁ = 60 ΩR₂ = 40 ΩR₃ = 300 ΩR₄ = 10 ΩR_g = 200 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 350 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: один активный тензорезистор (четвертьмост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,05, деформация — 500 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2,05ε = 500 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(0, 1, 5, 6, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Счётчик по модулю 50 построен на минимальном числе триггеров. Сколько из возможных состояний, U, никогда не используется?

N = 50

U =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 1,102 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/820 kΩ = 13,78 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 80·13,78 µA = 1,102 mA

Ответ

I_C = 1,102 mA

Проверка: V_CE = 8,362 V заметно больше 0,2 V, значит, транзистор действительно в активном режиме.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 710,6 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 20,9/150 = 139,3 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 5,1·139,3 = 710,6 mW

Ответ

P_Z,max = 710,6 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,391 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1,5·2/(22 + 2) = 0,125 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,125·(1 + 10/4,7) = 0,391 V

Ответ

V_out = 0,391 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 6,238 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,4/1 = −1,4 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,6/22 = 0,07273 mA

I_f = I₁ + I₂ = −1,327 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −4,7·(−1,327) = 6,238 V

Ответ

V_out = 6,238 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2938 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0,2941 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2941·(1 − e^−1/0,1471) = 0,2938 A

Ответ

i = 0,2938 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 320,5 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms

v_C(t) = 20 + (4 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

12 = 20 + (−16)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12 − 20)/(4 − 20) = 0,5

t = τ·ln((4 − 20)/(12 − 20)) = 462,4·ln(2) = 320,5 ms

Ответ

t = 320,5 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,83 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5,833 Ω

R_eq = R₁ + 5,833 = 12 + 5,833 = 17,83 Ω

Ответ

R_eq = 17,83 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6178 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 5 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4,773 Ω

R₃ + 4,773 = 29,77 Ω

R₂ ∥ 29,77 = 4,281 Ω

R_eq = R₁ + 4,281 = 20 + 4,281 = 24,28 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/24,28 = 0,6178 A

Ответ

I_R1 = 0,6178 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,383 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 12/48 = 0,75

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 12 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 12·0,75/(47·10⁻⁶·500·10³) = 0,383 A

Ответ

ΔI_L = 0,383 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 1,76 mV

Коэффициент заполнения

D = 6/24 = 0,25

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (24 − 6)·0,25/(68·10⁻⁶·100·10³) = 0,6618 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 0,6618/(8·100·10³·470·10⁻⁶) = 1,76 mV

Ответ

ΔV_o = 1,76 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 15737 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 10·(40/100 − 10/310) = 3,677 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 33,68 Ω

Ток гальванометра

I_g = 3,677/(33,68 + 200) = 15737 µA

Ответ

I_g = 15737 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 0,6406 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,05·500·10⁻⁶ = 0,001025

Выход моста

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 2,5·0,001025/4 = 0,6406 mV

Ответ

V_o = 0,6406 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 01, CD = 10

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m6: m7, m4, m2, m14 → 0

Изолированная единица

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

Ответ

AB = 01, CD = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: U = 14

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Число триггеров

2ⁿ ≥ 50 → n = 6 (2⁶ = 64)

Неиспользуемые состояния

U = 64 − 50 = 14

Ответ

U = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1