Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 50 смещён резистором базы R_B = 330 kΩ от источника питания V_CC = 12 V. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 12 VR_B = 330 kΩR_C = 3,3 kΩβ = 50V_BE = 0,7 V

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,65 V последовательно с 20 Ω (он проводит выше 0,65 V). Он включён последовательно с резистором 150 Ω к источнику 9 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 9 VR = 150 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 20 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −2 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,1 VV₂ = −0,7 VR₁ = 1 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 300 ms.

V_s = 9 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 220 µFt = 300 ms

i₂ = mA

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 48 V в 14,4 V при нагрузке 2,5 Ω. Он переключается с частотой 40 kHz при L = 100 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 48 VVo = 14,4 Vf = 40 kHzL = 100 µHR = 2,5 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 36 V в −108 V при нагрузке 12 Ω и частоте 40 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 47 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 36 VVo = −108 Vf = 40 kHzC = 47 µFR = 12 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 400 Ω и V_s = 12 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 0,4 Ω. Используя приближение малых изменений, найдите выход V_ab в mV.

V_s = 12 VR = 400 ΩΔR = 0,4 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор (GF = 2,1) на элементе с E = 110 GPa образует четвертьмост с напряжением питания 3 V. Выход показывает 1,26 mV. Найдите осевое напряжение σ в MPa.

V_s = 3 VGF = 2,1V_o = 1,26 mVE = 110 GPa

σ = MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 9, 11, 12, 14, 15). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 7, 9, 11, 12, 14, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 14) + d(10, 11), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 14) + d(10, 11)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 6,35 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/330 kΩ = 34,24 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 50·34,24 µA = 1,712 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 12 − 1,712 mA·3,3 kΩ = 6,35 V

Ответ

V_CE = 6,35 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 49,12 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

9 = 0,65 + I·(150 + 20)

Рабочий ток

I_D = 8,35/170 = 49,12 mA

V_D = 0,65 + 0,04912·20 = 1,632 V

Ответ

I_D = 49,12 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −11,36 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −2 V

I = V₋/R₁ = −2/4,7 = −0,4255 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −2 + (−0,4255)·22 = −11,36 V

Ответ

V_out = −11,36 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −9,3 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 0,1/1 = 0,1 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,7/100 = −0,007 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,093 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −100·0,093 = −9,3 V

Ответ

V_out = −9,3 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1926 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6667·(1 − e^−5/14,67) = 0,1926 A

Ответ

i = 0,1926 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,8804 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 9·2,2/(3,3 + 2,2) = 3,6 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 2,2·220 = 484 ms

Разряд

v_C(t) = 3,6·e^−300/484 = 1,937 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,937/2,2 = 0,8804 mA

Ответ

i₂ = 0,8804 mA

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 26,35 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω

R_eq = R₁ + 6,346 = 20 + 6,346 = 26,35 Ω

Ответ

R_eq = 26,35 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,2477 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 12 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,235 Ω

R₃ + 8,235 = 14,24 Ω

R₂ ∥ 14,24 = 4,221 Ω

R_eq = R₁ + 4,221 = 20 + 4,221 = 24,22 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/24,22 = 0,2477 A

Ответ

I_R1 = 0,2477 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 7,02 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 14,4/48 = 0,3

Средний ток и пульсации тока

I_o = 14,4/2,5 = 5,76 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 33,6·0,3/(100·10⁻⁶·40·10³) = 2,52 A

Пиковый ток

I_max = 5,76 + 2,52/2 = 7,02 A

Ответ

I_max = 7,02 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 3590 mV

Коэффициент заполнения

D = 108/(36 + 108) = 0,75

Ток нагрузки

I_o = 108/12 = 9 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 9·0,75/(40·10³·47·10⁻⁶) = 3590 mV

Ответ

ΔV_o = 3590 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 3 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Относительное изменение

ΔR/R = 0,4/400 = 0,001

Линеаризованный выход

V_ab ≈ 12·0,001/4 = 3 mV

Ответ

V_ab = 3 mV

Точное значение равно 2,999 mV; приближение хорошо, пока ΔR/R мало.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: σ = 88 MPa

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Деформация

ε = 4·0,00126/(3·2,1) = 0,0008

Напряжение

σ = 110·10³ MPa·0,0008 = 88 MPa

Ответ

σ = 88 MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B + C′ + D)

(B′ + C + D′)

(A + B + D′)

(A + B′ + D)

(A′ + B + D)

Минимальная форма POS

F = (B + C′ + D)(B′ + C + D′)(A + B + D′)(A + B′ + D)(A′ + B + D)

N = 5

Ответ

N = 5

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD′, B′D′, B′C, BC′D, A′C, A′BD

Существенные простые импликанты

CD′, B′D′, BC′D

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1