Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 150 смещён делителем напряжения от V_CC = 18 V: R₁ = 47 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 6,8 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 2,2 kΩ, резистор эмиттера R_E = 470 Ω. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 18 VR₁ = 47 kΩR₂ = 6,8 kΩR_C = 2,2 kΩR_E = 470 Ωβ = 150

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 200 коммутирует нагрузочный резистор 470 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B = 220 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 9 VR_C = 470 Ωβ = 200V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 220 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 4,7 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = −0,9 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 100 ms.

V_in = −0,9 VR = 100 kΩC = 0,22 µFV_sat = ±12 Vt = 100 ms

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 5 ms.

i(0) = 3 AR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 11,4 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 15 V в 6 V при нагрузке 4 Ω. Он переключается с частотой 50 kHz при L = 47 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 15 VVo = 6 Vf = 50 kHzL = 47 µHR = 4 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 36 V в 18 V при 25 kHz и L = 330 µH. Найдите выходную ёмкость C, при которой размах пульсаций выходного напряжения ограничен 10 mV.

Vin = 36 VVo = 18 Vf = 25 kHzL = 330 µHΔV_o = 10 mV

C = µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 330 Ω и V_s = 3 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 82,5 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 3 VR = 330 ΩΔR = 82,5 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор 120 Ω с коэффициентом тензочувствительности 2,12 приклеен к стальному стержню. Под нагрузкой его сопротивление возрастает на 0,3053 Ω. Найдите деформацию ε в микродеформациях (µε).

R = 120 ΩGF = 2,12ΔR = 0,3053 Ω

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′BC′ + AB + A′C′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′BC′ + AB + A′C′

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Триггер T, срабатывающий по переднему фронту, начинает с Q = 0 и получает показанные входы на 7 передних фронтах тактового сигнала. Сколько раз, N, Q меняет состояние?

Q₀ = 0T

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 9,788 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 18·6,8/(47 + 6,8) = 2,275 V

R_TH = 47·6,8/(47 + 6,8) = 5,941 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,275 − 0,7)/(5,941 + 151·0,47) = 20,48 µA

Ток коллектора

I_C = 150·20,48 µA = 3,072 mA

I_E = 151·20,48 µA = 3,092 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 18 − 3,072·2,2 − 3,092·0,47 = 9,788 V

Ответ

V_CE = 9,788 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 3,909 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (5 − 0,7)/220 kΩ = 19,55 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B меньше I_C(sat), поэтому транзистор остаётся в активном режиме.

β·I_B = 3,909 mA

I_C(sat) = (9 − 0,2)/470 = 18,72 mA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 3,909 mA

Ответ

I_C = 3,909 mA

Транзистор в активном режиме, поэтому нагрузка включена не полностью.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 5,64 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 10/4,7 = 2,128

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/2,128 = 5,64 V

Ответ

V_in,max = 5,64 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 4,091 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 100 kΩ · 0,22 µF = 22 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −(−0,9)/22 = 0,04091 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0,9)·100/22 = 4,091 V

Ответ

V_out = 4,091 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 19,01 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

Убывание тока

i(t) = 3·e^−5/3,03 = 0,5761 A

v_R = R·i = 33·0,5761 = 19,01 V

Ответ

v_R = 19,01 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 186,7 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

11,4 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,4 − 6)/(24 − 6) = 0,3

t = τ·ln((24 − 6)/(11,4 − 6)) = 155,1·ln(3,333) = 186,7 ms

Ответ

t = 186,7 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,224 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 2 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 3 + 4,444 = 7,444 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/7,444 = 3,224 A

Ответ

I_R1 = 3,224 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 42,48 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9,375 Ω

R₃ + 9,375 = 21,38 Ω

R₂ ∥ 21,38 = 12,48 Ω

R_eq = R₁ + 12,48 = 30 + 12,48 = 42,48 Ω

Ответ

R_eq = 42,48 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 2,266 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 6/15 = 0,4

Средний ток и пульсации тока

I_o = 6/4 = 1,5 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0,4/(47·10⁻⁶·50·10³) = 1,532 A

Пиковый ток

I_max = 1,5 + 1,532/2 = 2,266 A

Ответ

I_max = 2,266 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: C = 545,5 µF

Коэффициент заполнения

D = 18/36 = 0,5

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (36 − 18)·0,5/(330·10⁻⁶·25·10³) = 1,091 A

Ёмкость

C = 1,091/(8·25·10³·10·10⁻³) = 545,5 µF

Ответ

C = 545,5 µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 166,7 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 3·412,5/742,5 = 1,667 V

V_b = 1,5 V

Выделение

V_ab = 166,7 mV

Ответ

V_ab = 166,7 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 187,5 mV завышена на 12,5 %: четвертьмост не совсем линеен.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 1200 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 0,3053/120 = 0,002544

Деформация

ε = 0,002544/2,12 = 0,0012 = 1200 µε

Ответ

ε = 1200 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′BC′ → m(2)

AB → m(6, 7)

A′C′ → m(0, 2)

Сгруппируйте и прочитайте

F = A′C′ + AB

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Q после каждого фронта

T-триггер переключается по каждому переднему фронту при T = 1 и сохраняет состояние при T = 0.

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 1 → Q = 1

3: T = 1 → Q = 0

4: T = 1 → Q = 1

5: T = 0 → Q = 1

6: T = 1 → Q = 0

7: T = 1 → Q = 1

Посчитайте изменения

0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1

N = 5

Ответ

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1