Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 80 смещён делителем напряжения от V_CC = 12 V: R₁ = 22 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 15 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 1,5 kΩ, резистор эмиттера R_E = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 12 VR₁ = 22 kΩR₂ = 15 kΩR_C = 1,5 kΩR_E = 2,2 kΩβ = 80

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,6 V имеет последовательный резистор 270 Ω. Входное напряжение может подниматься до 30 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 30 VV_Z = 5,6 VR = 270 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,2 VV₂ = 0,5 VR₁ = 22 kΩR₂ = 100 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,5 A? Найдите t.

i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 21,6 V? Найдите t.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 9 V в 2,7 V при частоте переключения 200 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,5 A.

Vin = 9 VVo = 2,7 Vf = 200 kHzΔI_L = 0,5 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 15 V в −22,5 V при нагрузке 25 Ω и частоте 20 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 15 VVo = −22,5 Vf = 20 kHzC = 10 µFR = 25 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 50 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 2 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 2 VR₁ = 80 ΩR₂ = 1000 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 50 ΩR_g = 50 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,05) питается напряжением 5 V. Под нагрузкой выход показывает 0,513 mV. Найдите деформацию ε в µε.

V_s = 5 VGF = 2,05V_o = 0,513 mV

ε = µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(3, 9, 12, 13). Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 9, 12, 13)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Синхронный счётчик по модулю 9 считает 0, 1, …, 8, а затем возвращается к 0. Он начинает с 6. Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 32 тактовых импульсов?

Q₀ = 632N = 9

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 5,363 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 12·15/(22 + 15) = 4,865 V

R_TH = 22·15/(22 + 15) = 8,919 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (4,865 − 0,7)/(8,919 + 81·2,2) = 22,26 µA

Ток коллектора

I_C = 80·22,26 µA = 1,781 mA

I_E = 81·22,26 µA = 1,803 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 12 − 1,781·1,5 − 1,803·2,2 = 5,363 V

Ответ

V_CE = 5,363 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 506,1 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 24,4/270 = 90,37 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 5,6·90,37 = 506,1 mW

Ответ

P_Z,max = 506,1 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 2,333 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/2 = 6

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/6 = 2,333 V

Ответ

V_in,max = 2,333 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 2,854 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,5·4,7/(2 + 4,7) = 0,3507 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(100/22)·(−0,2) + (1 + 100/22)·0,3507 = 0,9091 + 1,945 = 2,854 V

Ответ

V_out = 2,854 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 3,541 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

Выразите время

0,5 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,5)

t = 2,2·ln(5) = 3,541 ms

Ответ

t = 3,541 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 109,4 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

Выразите время

21,6 = 24 + (−12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21,6 − 24)/(12 − 24) = 0,2

t = τ·ln((12 − 24)/(21,6 − 24)) = 68·ln(5) = 109,4 ms

Ответ

t = 109,4 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 22 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 20 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 15·30/(15+30) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 12 + 10 = 22 Ω

Ответ

R_eq = 22 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,55 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 25 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 6,792 Ω

R₃ + 6,792 = 31,79 Ω

R₂ ∥ 31,79 = 3,553 Ω

R_eq = R₁ + 3,553 = 10 + 3,553 = 13,55 Ω

Ответ

R_eq = 13,55 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 18,9 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 2,7/9 = 0,3

Индуктивность

L = 6,3·0,3/(0,5·200·10³) = 18,9 µH

Ответ

L = 18,9 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 2700 mV

Коэффициент заполнения

D = 22,5/(15 + 22,5) = 0,6

Ток нагрузки

I_o = 22,5/25 = 0,9 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 0,9·0,6/(20·10³·10·10⁻⁶) = 2700 mV

Ответ

ΔV_o = 2700 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 7929 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 2·(1000/1080 − 50/170) = 1,264 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 109,4 Ω

Ток гальванометра

I_g = 1,264/(109,4 + 50) = 7929 µA

Ответ

I_g = 7929 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 200,2 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,000513/(5·2,05) = 0,0002002

В микродеформациях

ε = 200,2 µε

Ответ

ε = 200,2 µε

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

AC′D

ABC′

A′B′CD

Минимальная форма SOP

F = AC′D + ABC′ + A′B′CD

N = 3

Ответ

N = 3

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 2

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 9 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

32 = 3·9 + 5

Значение после оставшихся импульсов

Q = (6 + 5) mod 9 = 2

Q = 0010₂

Ответ

Q = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1