Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения)
VD = 0,7 V when conducting
Активный режим
VBE = 0,7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
Фиксированное смещение
IB = (VCC − 0,7)/RB
Смещение делителем напряжения
IB = (VTH − 0,7)/(RTH + (β + 1)RE)
Эквивалент Тевенена для делителя
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
Контур коллектора
VCE = VCC − ICRC − IERE
Насыщение
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий
Vo = D·Vin
Повышающий
Vo = Vin/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности
VinIin = VoIo
Пульсации тока катушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Средний ток катушки
понижающий Io; повышающий и понижающе-повышающий Io/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения
понижающий ΔIL/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий Io·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока
понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
  2. Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
  3. Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Выделение
Vab = Va − Vb
Баланс
R1/R2 = R3/R4
Реохордный мост
R/Rx = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Коэффициент тензочувствительности
ΔR/R = GF·ε
Выход моста
четвертьмост Vs·GF·ε/4, полумост Vs·GF·ε/2, полный мост Vs·GF·ε
Малое изменение, одно плечо
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Напряжение
σ = E·ε

Метод

  1. Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
  2. Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
  3. Для неуравновешенного моста найдите Va и Vb по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
  4. Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте Vs·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя
+−20 V270 Ω3,3 V3300 ΩIZ​ = ?

Стабилизатор на стабилитроне 3,3 V питается от 20 V через 270 Ω и питает нагрузку 3300 Ω. Найдите ток стабилитрона IZ.

Vin = 20 VVZ = 3,3 VR = 270 ΩRL = 3300 Ω
IZ = mA
2.Диоды и транзисторыСложная
RC​ = 680 Ωβ = 150VCC​ = 24 V5 VRB​ = ?

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 680 Ω, включённый между VCC = 24 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы RB. Примите VBE = 0,7 V и VCE(sat) = 0,2 V. Для надёжного переключения рассчитайте ток базы в 3 раз больше минимального, нужного для насыщения. Найдите RB в kΩ.

VCC = 24 VRC = 680 Ωβ = 150Vin = 5 VVBE = 0,7 VVCE(sat) = 0,2 Vкоэффициент запаса = 3
RB = kΩ
3.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​R2​ = 4,7 kΩV1​ = 2,4 VR1​ = 2 kΩV2​ = 1,6 VR3​ = 2 kΩR4​ = 4,7 kΩ

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R3 = R1 и R4 = R2. Найдите выходное напряжение Vout.

V1 = 2,4 VV2 = 1,6 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 4,7 kΩ
Vout = V
4.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = 1,9 VR1​ = 22 kΩV2​ = −0,9 VR2​ = 47 kΩIf​

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток If через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V1 = 1,9 VV2 = −0,9 VR1 = 22 kΩR2 = 47 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
R = 68 Ωt = 0L100 mHi(t)

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение vR на R при t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms
vR = V
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​6 Vt = 0R = 3,3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 80 ms.

Vs = 6 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 2 Vt = 80 ms
vC = V
7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​3 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
8.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​12 ΩBR6​15 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
+−15 VSL = ?CR+−4,5 V

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 4,5 V при частоте переключения 100 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,4 A.

Vin​ = 15 VVo​ = 4,5 Vf = 100 kHzΔIL = 0,4 A
L = µH
10.Преобразователи постоянного напряженияСложная
tiL​Imax​IL​DTT2T

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 40 V при нагрузке 12 Ω и частоте 200 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.

Vin​ = 24 VVo​ = 40 Vf = 200 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя
+−12 V500 Ω500 Ω + ΔR500 Ω500 Ωab+−Vab​ = ?

Мост имеет четыре плеча по 500 Ω и Vs = 12 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 50 Ω. Найдите точный выход Vab в mV.

Vs = 12 VR = 500 ΩΔR = 50 Ω
Vab = mV
12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−2,1 mV

Четвертьмост с одним активным тензорезистором (GF = 2,1) питается напряжением 5 V. Под нагрузкой выход показывает 2,1 mV. Найдите деформацию ε в µε.

Vs = 5 VGF = 2,1Vo = 2,1 mV
ε = µε
13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABC000111100101324576

Упростите F = A′BC′ + A′C + A′B′C′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′BC′ + A′C + A′B′C′
L =
14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
ABCD0001111000011110X0110312041517X6012X131150141809011X10

Для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 8, 15) + d(0, 6, 10, 13), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 8, 15) + d(0, 6, 10, 13)
N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: IZ = 60,85 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение VZ, пока его ток остаётся выше минимума IZ,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: IR = (Vin − VZ)/R. Этот ток делится между нагрузкой, IL = VZ/RL, и стабилитроном: IZ = IR − IL. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток IZ,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона PZ = VZ·IZ.

Ток резистора

IR = 16,7/270 = 61,85 mA

Ток нагрузки

IL = 3,3/3300 = 1 mA

Ток стабилитрона

IZ = 61,85 − 1 = 60,85 mA

Ответ

IZ = 60,85 mA
2.Диоды и транзисторы

Ответ: RB = 6,143 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где VCE = VCE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC. Для насыщения нужен ток базы не менее IB = IC(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и IC = β·IB.

Ток коллектора в насыщении

IC(sat) = (24 − 0,2)/680 = 35 mA

Минимальный ток базы

IB(min) = IC(sat)/β = 35/150 = 233,3 µA

Расчётный ток базы

IB = 3·233,3 µA = 700 µA

Резистор базы

RB = (5 − 0,7)/IB = 4,3 V/0,7 mA = 6,143 kΩ

Ответ

RB = 6,143 kΩ
3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = −1,88 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,6·4,7/(2 + 4,7) = 1,122 V
V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(2,4 − 1,122)/2 = (1,122 − Vout)/4,7
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (4,7/2)·(1,6 − 2,4) = −1,88 V

Ответ

Vout = −1,88 V
4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: If = 0,06721 mA

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = 1,9/22 = 0,08636 mA
I2 = V2/R2 = −0,9/47 = −0,01915 mA
If = I1 + I2 = 0,06721 mA

Ответ

If = 0,06721 mA
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vR = 17,22 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

Убывание тока

i(t) = 0,5·e−1/1,471 = 0,2533 A
vR = R·i = 68·0,2533 = 17,22 V

Ответ

vR = 17,22 V
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 3,612 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms
vC(t) = 6 + (2 − 6)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(80) = 6 + (−4)·e−80/155,1 = 3,612 V

Ответ

vC = 3,612 V
7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 17,93 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​3 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 8 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2,933 Ω
Req = R1 + 2,933 = 15 + 2,933 = 17,93 Ω

Ответ

Req = 17,93 Ω
8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 15,63 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​12 ΩBR6​15 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 7,886 Ω
R3 + 7,886 = 12,89 Ω
R2 ∥ 12,89 = 5,63 Ω
Req = R1 + 5,63 = 10 + 5,63 = 15,63 Ω

Ответ

Req = 15,63 Ω
9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 78,75 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.

Коэффициент заполнения

D = 4,5/15 = 0,3

Индуктивность

L = 10,5·0,3/(0,4·100·10³) = 78,75 µH

Ответ

L = 78,75 µH
10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: Lcrit = 4,32 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/40 = 0,4

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

Lcrit = 0,4(1 − 0,4)²·12/(2200·10³) = 4,32 µH

Ответ

Lcrit = 4,32 µH
11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: Vab = 285,7 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника Vs. Левый делитель R1–R2 даёт Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правый делитель R3–R4 даёт Vb = Vs·R4/(R3 + R4); выход равен Vab = Va − Vb. Мост уравновешен (Vab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R1/R2 = R3/R4, то есть R1·R4 = R2·R3. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Напряжения узлов

Va = 12·550/1050 = 6,286 V
Vb = 6 V

Выделение

Vab = 285,7 mV

Ответ

Vab = 285,7 mV

Линейная оценка Vs·ΔR/(4R) = 300 mV завышена на 5 %: четвертьмост не совсем линеен.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ε = 800 µε

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают Vs·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — Vs·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Решите уравнение четвертьмоста

ε = 4·0,0021/(5·2,1) = 0,0008

В микродеформациях

ε = 800 µε

Ответ

ε = 800 µε
13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 1

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′BC′ → m(2)
A′C → m(1, 3)
A′B′C′ → m(0)
ABC00011110011011131204050706

Сгруппируйте и прочитайте

F = A′

Посчитайте литералы

L = 1

Ответ

L = 1
14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′D′, BD, A′C′D, A′CD′, A′B′C′, A′BC
ABCD0001111000011110X0110312041517X6012X131150141809011X10

Существенные простые импликанты

B′D′, BD
N = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1