Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V питается от 20 V через 270 Ω и питает нагрузку 1000 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 20 VV_Z = 5,1 VR = 270 ΩR_L = 1000 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V должен питать нагрузку током до 50 mA. Входное напряжение может падать до 20 V, а стабилитрону для стабилизации нужно не менее 2 mA. Найдите наибольшее последовательное сопротивление R_max, при котором стабилизация сохраняется.

V_in,min = 20 VV_Z = 5,1 VI_L,max = 50 mAI_Z,min = 2 mA

R_max = Ω

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите напряжение V₋ на инвертирующем входе.

V₁ = 0,6 VV₂ = 1,7 VR₁ = R₃ = 1 kΩR₂ = R₄ = 2 kΩ

V₋ = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = −1 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 4,7 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = −1 V

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,58 V, ровно через 1000 ms после старта. При R = 47 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 12 VV_th = 7,58 VT = 1000 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 36 V в 18 V при частоте переключения 500 kHz. Найдите индуктивность L, при которой размах пульсаций тока катушки составляет 0,4 A.

Vin = 36 VVo = 18 Vf = 500 kHzΔI_L = 0,4 A

L = µH

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 32 V при нагрузке 8 Ω и частоте 200 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 24 VVo = 32 Vf = 200 kHzR = 8 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 9 VR₁ = 150 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 800 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: два активных тензорезистора в соседних плечах, один на растяжение и один на сжатие (полумост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 750 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2ε = 750 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 10, 11, 13, 14) + d(2, 5, 9), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 10, 11, 13, 14) + d(2, 5, 9)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 50,09 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 14,9/270 = 55,19 mA

Ток нагрузки

I_L = 5,1/1000 = 5,1 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 55,19 − 5,1 = 50,09 mA

Ответ

I_Z = 50,09 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_max = 286,5 Ω

Ток в худшем случае

I_R = 50 + 2 = 52 mA

Наибольшее сопротивление

R_max = 14,9/0,052 = 286,5 Ω

Ответ

R_max = 286,5 Ω

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V₋ = 1,133 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,7·2/(1 + 2) = 1,133 V

V₋ = V₊

Ответ

V₋ = 1,133 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 6,872 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/4,7 = −4,681

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/47 = 1,468

Каскад за каскадом

V₁ = −4,681·(−1) = 4,681 V

V_out = 1,468·4,681 = 6,872 V

Ответ

V_out = 6,872 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 19,97 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Выразите время

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −6,667·ln(0,05) = 19,97 ms

Ответ

t = 19,97 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 21,3 µF

Требуемая постоянная времени

7,58 = 12·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(12/(12 − 7,58))

τ = 1000/0,9988 = 1001 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 1001/47 = 21,3 µF

Ответ

C = 21,3 µF

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,158 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 2 + 7,5 = 9,5 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,5 = 3,158 A

Ответ

I_R1 = 3,158 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,5885 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 4,444 Ω

R₃ + 4,444 = 10,44 Ω

R₂ ∥ 10,44 = 5,584 Ω

R_eq = R₁ + 5,584 = 25 + 5,584 = 30,58 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/30,58 = 0,5885 A

Ответ

I_R1 = 0,5885 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L = 45 µH

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 18/36 = 0,5

Индуктивность

L = 18·0,5/(0,4·500·10³) = 45 µH

Ответ

L = 45 µH

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 2,813 µH

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/32 = 0,25

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = 0,25(1 − 0,25)²·8/(2200·10³) = 2,813 µH

Ответ

L_crit = 2,813 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 156,5 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 150·80/230 = 52,17 Ω

R₃∥R₄ = 120·800/920 = 104,3 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 156,5 Ω

Ответ

R_th = 156,5 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 1,875 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·750·10⁻⁶ = 0,0015

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε/2 = 2,5·0,0015/2 = 1,875 mV

Ответ

V_o = 1,875 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B + C + D)

(A + C′ + D′)

(A′ + C + D)

(A′ + B + C)

Минимальная форма POS

F = (B + C + D)(A + C′ + D′)(A′ + C + D)(A′ + B + C)

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C, BC′D, A′CD, AC′D, ACD′, AB′, A′BD, A′BC′

Существенные простые импликанты

ACD′, AB′, A′BC′

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1