Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Светодиодов: 2 (белый), прямое напряжение 3 V у каждого; они соединены последовательно с резистором к источнику 12 V. Найдите сопротивление R, при котором ток равен 10 mA.

V_s = 12 VV_F = 3 Vn = 2I = 10 mA

R = Ω

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,6 V имеет последовательный резистор 470 Ω. Входное напряжение может подниматься до 21 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 21 VV_Z = 5,6 VR = 470 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 11.

R₁ = 100 kΩA_v = 11

R_f = kΩ

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 2 VV₂ = 0,1 VR₁ = 2 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 10 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 10 V? Найдите t.

V_s = 15 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 60 V при 250 kHz и L = 33 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 24 VVo = 60 Vf = 250 kHzL = 33 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 48 V в −16 V при нагрузке 5 Ω и частоте 40 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 470 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 48 VVo = −16 Vf = 40 kHzC = 470 µFR = 5 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 330 Ω питается напряжением 10 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 192,3 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 10 VR = 330 ΩV_ab = 192,3 mV

ΔR = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Тензорезистор (GF = 2,12) на элементе с E = 210 GPa образует четвертьмост с напряжением питания 10 V. Выход показывает 2,65 mV. Найдите осевое напряжение σ в MPa.

V_s = 10 VGF = 2,12V_o = 2,65 mVE = 210 GPa

σ = MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2). Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 8) + d(2, 3, 11, 14), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 8) + d(2, 3, 11, 14)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: R = 600 Ω

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напряжение на резисторе

V_R = 12 − 2·3 = 6 V

Сопротивление

R = 6/0,01 = 600 Ω

Ответ

R = 600 Ω

Резистор рассеивает 60 mW.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 183,5 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 15,4/470 = 32,77 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 5,6·32,77 = 183,5 mW

Ответ

P_Z,max = 183,5 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 1000 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (11 − 1)·100 = 1000 kΩ

Ответ

R_f = 1000 kΩ

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,2 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 2/2 = 1 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,1/1 = 0,1 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,1 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −2·1,1 = −2,2 V

Ответ

V_out = −2,2 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 10,82 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 9/10 = 0,9 A

Выразите время

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −4,7·ln(0,1) = 10,82 ms

Ответ

t = 10,82 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 103,7 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 15 + (5 − 15)·e^−t/τ

Выразите время

10 = 15 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10 − 15)/(5 − 15) = 0,5

t = τ·ln((5 − 15)/(10 − 15)) = 149,6·ln(2) = 103,7 ms

Ответ

t = 103,7 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,06 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 10·13/(10+13) = 5,652 Ω

R_eq = R₁ + 5,652 = 6 + 5,652 = 11,65 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11,65 = 2,06 A

Ответ

I_R1 = 2,06 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8065 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 15 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 4,667 Ω

R₃ + 4,667 = 14,67 Ω

R₂ ∥ 14,67 = 6,6 Ω

R_eq = R₁ + 6,6 = 12 + 6,6 = 18,6 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,6 = 0,8065 A

Ответ

I_R1 = 0,8065 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,745 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/60 = 0,6

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 24 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 24·0,6/(33·10⁻⁶·250·10³) = 1,745 A

Ответ

ΔI_L = 1,745 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 42,55 mV

Коэффициент заполнения

D = 16/(48 + 16) = 0,25

Ток нагрузки

I_o = 16/5 = 3,2 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 3,2·0,25/(40·10³·470·10⁻⁶) = 42,55 mV

Ответ

ΔV_o = 42,55 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 26,4 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 5 + 0,1923 = 5,192 V

Решите делитель

R₂ = 330·5,192/(10 − 5,192) = 356,4 Ω

ΔR = 356,4 − 330 = 26,4 Ω

Ответ

ΔR = 26,4 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: σ = 105 MPa

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Деформация

ε = 4·0,00265/(10·2,12) = 0,0005

Напряжение

σ = 210·10³ MPa·0,0005 = 105 MPa

Ответ

σ = 105 MPa

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

A′B′D′

A′B′C′

Минимальная форма SOP

F = A′B′D′ + A′B′C′

N = 2

Ответ

N = 2

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D′, BCD′, A′D′, A′BC′

Минимальное покрытие

F = B′C′D′ + A′D′ + A′BC′

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1