Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 80 смещён делителем напряжения от V_CC = 18 V: R₁ = 47 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 10 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 1 kΩ, резистор эмиттера R_E = 1,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 18 VR₁ = 47 kΩR₂ = 10 kΩR_C = 1 kΩR_E = 1,2 kΩβ = 80

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 100 коммутирует нагрузочный резистор 220 Ω, включённый между V_CC = 24 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B = 2,2 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 24 VR_C = 220 Ωβ = 100V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 2,2 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 1,6 VR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 1,3 VV₂ = 1,7 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 75 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 10 µFt = 75 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 17,4 V? Найдите t.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 36 V в −84 V при 40 kHz и L = 330 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 36 VVo = −84 Vf = 40 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 24 V в −24 V при нагрузке 5 Ω и частоте 500 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 24 VVo = −24 Vf = 500 kHzR = 5 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост с четырьмя плечами по 120 Ω питается напряжением 15 V. Когда датчик R₂ изменяется, выход показывает V_ab = 288,5 mV. Найдите точное изменение ΔR сопротивления R₂.

V_s = 15 VR = 120 ΩV_ab = 288,5 mV

ΔR = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1 mV/V при номинальной нагрузке 100 kg. Напряжение питания — 10 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 40 kg.

1 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 10 VF = 40 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′BC′ + A′B′C′ + AC + A′C′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′BC′ + A′B′C′ + AC + A′C′

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 10, 15) + d(13, 14), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 10, 15) + d(13, 14)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 13,87 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 18·10/(47 + 10) = 3,158 V

R_TH = 47·10/(47 + 10) = 8,246 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (3,158 − 0,7)/(8,246 + 81·1,2) = 23,31 µA

Ток коллектора

I_C = 80·23,31 µA = 1,865 mA

I_E = 81·23,31 µA = 1,888 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 18 − 1,865·1 − 1,888·1,2 = 13,87 V

Ответ

V_CE = 13,87 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 108,2 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (5 − 0,7)/2,2 kΩ = 1955 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B больше I_C(sat), поэтому транзистор насыщается.

β·I_B = 195,5 mA

I_C(sat) = (24 − 0,2)/220 = 108,2 mA

Ток коллектора

I_C = I_C(sat) = 108,2 mA

Ответ

I_C = 108,2 mA

Транзистор насыщен.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 3,2 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 1,6 V

I = V₋/R₁ = 1,6/10 = 0,16 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,6 + 0,16·10 = 3,2 V

Ответ

V_out = 3,2 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −1,127 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,3/4,7 = 0,2766 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,7/2 = 0,85 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,127 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −1·1,127 = −1,127 V

Ответ

V_out = −1,127 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,827 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10 + 10) = 5 kΩ

v_C(∞) = 15·10/(10 + 10) = 7,5 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 5·10 = 50 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 7,5·(1 − e^−75/50) = 5,827 V

Ответ

v_C = 5,827 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 56,59 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

Выразите время

17,4 = 24 + (−22)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17,4 − 24)/(2 − 24) = 0,3

t = τ·ln((2 − 24)/(17,4 − 24)) = 47·ln(3,333) = 56,59 ms

Ответ

t = 56,59 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8923 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω

R_eq = R₁ + 3,448 = 10 + 3,448 = 13,45 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13,45 = 0,8923 A

Ответ

I_R1 = 0,8923 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,4669 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 2,438 Ω

R₃ + 2,438 = 5,438 Ω

R₂ ∥ 5,438 = 4,275 Ω

R_eq = R₁ + 4,275 = 15 + 4,275 = 19,28 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/19,28 = 0,4669 A

Ответ

I_R1 = 0,4669 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,909 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 84/(36 + 84) = 0,7

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 36 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 36·0,7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 1,909 A

Ответ

ΔI_L = 1,909 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 1,25 µH

Коэффициент заполнения

D = 24/(24 + 24) = 0,5

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,5)²·5/(2500·10³) = 1,25 µH

Ответ

L_crit = 1,25 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: ΔR = 9,6 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение узла

V_a = 7,5 + 0,2885 = 7,788 V

Решите делитель

R₂ = 120·7,788/(15 − 7,788) = 129,6 Ω

ΔR = 129,6 − 120 = 9,6 Ω

Ответ

ΔR = 9,6 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 4 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1·10 = 10 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 10·40/100 = 4 mV

Ответ

V_o = 4 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′BC′ → m(2)

A′B′C′ → m(0)

AC → m(5, 7)

A′C′ → m(0, 2)

Сгруппируйте и прочитайте

F = A′C′ + AC

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

BC′D, ACD′, ABD, ABC, A′B′C′D′

Минимальное покрытие

F = BC′D + ACD′ + ABD + A′B′C′D′

N = 4

Ответ

N = 4

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1