Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 120 смещён делителем напряжения от V_CC = 20 V: R₁ = 33 kΩ от V_CC к базе и R₂ = 4,7 kΩ от базы к земле. Резистор коллектора R_C = 1,5 kΩ, резистор эмиттера R_E = 470 Ω. Примите V_BE = 0,7 V и используйте эквивалент Тевенена для делителя (ток базы не пренебрегайте). Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 20 VR₁ = 33 kΩR₂ = 4,7 kΩR_C = 1,5 kΩR_E = 470 Ωβ = 120

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 150 коммутирует нагрузочный резистор 330 Ω, включённый между V_CC = 5 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 3,3 V через резистор базы R_B = 3,3 kΩ. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Найдите ток коллектора I_C в mA при высоком уровне на входе. Сначала определите, насыщен ли транзистор.

V_CC = 5 VR_C = 330 Ωβ = 150V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 VR_B = 3,3 kΩ

I_C = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −1 VR_a = 4,7 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,1 VV₂ = −0,6 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 250 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 47 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 48 V в 24 V при 20 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 48 VVo = 24 Vf = 20 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 48 V в 192 V при нагрузке 2 Ω и частоте 20 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 22 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔV_o в mV.

Vin = 48 VVo = 192 Vf = 20 kHzC = 22 µFR = 2 Ω

ΔV_o = mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 10 VR₁ = 50 ΩR₂ = 200 ΩR₃ = 600 ΩR₄ = 60 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 2 mV/V при номинальной нагрузке 200 kg. Напряжение питания — 10 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 120 kg.

2 mV/VF_rated = 200 kgV_s = 10 VF = 120 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

У мультиплексора 4 в 1 адресные входы S₁ = A и S₀ = B, а информационные входы подключены так: I₀ = C′, I₁ = C′, I₂ = C′, I₃ = 1. Для скольких из 8 комбинаций A, B и C выход F = 1? Найдите N.

I₀ = C′I₁ = C′I₂ = C′I₃ = 1

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 11, 12, 14) + d(0, 8), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 11, 12, 14) + d(0, 8)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 3,529 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Эквивалент Тевенена для делителя

V_TH = 20·4,7/(33 + 4,7) = 2,493 V

R_TH = 33·4,7/(33 + 4,7) = 4,114 kΩ

Ток базы

Второй закон Кирхгофа для базового контура; ток эмиттера равен (β + 1)·I_B.

I_B = (2,493 − 0,7)/(4,114 + 121·0,47) = 29,41 µA

Ток коллектора

I_C = 120·29,41 µA = 3,529 mA

I_E = 121·29,41 µA = 3,558 mA

Ответ

I_C = 3,529 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 14,55 mA

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток базы

I_B = (3,3 − 0,7)/3,3 kΩ = 787,9 µA

Насыщение или активный режим?

β·I_B больше I_C(sat), поэтому транзистор насыщается.

β·I_B = 118,2 mA

I_C(sat) = (5 − 0,2)/330 = 14,55 mA

Ток коллектора

I_C = I_C(sat) = 14,55 mA

Ответ

I_C = 14,55 mA

Транзистор насыщен.

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −2,909 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −1·47/(4,7 + 47) = −0,9091 V

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊, и ток через R₁ течёт также через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0,9091·(1 + 22/10) = −2,909 V

Ответ

V_out = −2,909 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 6,047 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −0,1/100 = −0,001 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,6/4,7 = −0,1277 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,1287 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −47·(−0,1287) = 6,047 V

Ответ

V_out = 6,047 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 10,67 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0,5106 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,5106·(1 − e^−5/2,128) = 0,4619 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·100·0,4619² = 10,67 mJ

Ответ

W = 10,67 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,489 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 24·6,8/(6,8 + 6,8) = 12 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 6,8·47 = 319,6 ms

Разряд

v_C(t) = 12·e^−250/319,6 = 5,489 V

Ответ

v_C = 5,489 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 16 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 10 + 6 = 16 Ω

Ответ

R_eq = 16 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,519 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 8,727 Ω

R₃ + 8,727 = 10,73 Ω

R₂ ∥ 10,73 = 5,175 Ω

R_eq = R₁ + 5,175 = 3 + 5,175 = 8,175 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/8,175 = 2,936 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,936·3 = 15,19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15,19/10 = 1,519 A

Ответ

I_R2 = 1,519 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 2,727 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 24/48 = 0,5

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится между V_in и V_o.

V_L = 48 − 24 = 24 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 24·0,5/(220·10⁻⁶·20·10³) = 2,727 A

Ответ

ΔI_L = 2,727 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔV_o = 163636 mV

Коэффициент заполнения

D = 1 − 48/192 = 0,75

Ток нагрузки

I_o = 192/2 = 96 A

Пульсации выходного напряжения

ΔV_o = 96·0,75/(20·10³·22·10⁻⁶) = 163636 mV

Ответ

ΔV_o = 163636 mV

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 94,55 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 50·200/250 = 40 Ω

R₃∥R₄ = 600·60/660 = 54,55 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 94,55 Ω

Ответ

R_th = 94,55 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 12 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

2·10 = 20 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 20·120/200 = 12 mV

Ответ

V_o = 12 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 5

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ в 1 передаёт на выход один из своих информационных входов; адресные входы, читаемые как двоичное число, выбирают, какой именно. Для мультиплексора 4 в 1 с адресами S₁S₀ = AB: F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Если подключить информационные входы к 0, 1, C или C′, мультиплексор реализует любую функцию от A, B и C, что — распространённый способ построить логику на одной микросхеме.

Выражение выхода

F = A′B′C′ + A′BC′ + AB′C′ + AB

Строки с F = 1

ABC = 000, 010, 100, 110, 111

N = 5

Ответ

N = 5

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

C′D′, BD′, B′CD, A′D′, A′B′C

Минимальное покрытие

F = BD′ + B′CD + A′D′

N = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1