Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 50 смещён резистором базы R_B = 270 kΩ от источника питания V_CC = 12 V. Резистор коллектора R_C = 2,7 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 12 VR_B = 270 kΩR_C = 2,7 kΩβ = 50V_BE = 0,7 V

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V должен питать нагрузку током до 20 mA. Входное напряжение может падать до 9 V, а стабилитрону для стабилизации нужно не менее 2 mA. Найдите наибольшее последовательное сопротивление R_max, при котором стабилизация сохраняется.

V_in,min = 9 VV_Z = 5,1 VI_L,max = 20 mAI_Z,min = 2 mA

R_max = Ω

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 1 kΩR_f = 4,7 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 1 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 2 ms.

V_in = 1 VR = 2,2 kΩC = 1 µFV_sat = ±13 Vt = 2 ms

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 47 ΩR₂ = 22 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 48 V в 36 V при нагрузке 4 Ω. Он переключается с частотой 100 kHz при L = 330 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 48 VVo = 36 Vf = 100 kHzL = 330 µHR = 4 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 12 V в 8,4 V при нагрузке 5 Ω и частоте 200 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 12 VVo = 8,4 Vf = 200 kHzR = 5 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 100 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 15 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 15 VR₁ = 120 ΩR₂ = 250 ΩR₃ = 400 ΩR₄ = 250 ΩR_g = 100 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 2,5 mV/V при номинальной нагрузке 1000 kg. Напряжение питания — 12 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 800 kg.

2,5 mV/VF_rated = 1000 kgV_s = 12 VF = 800 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = ABC + B′C′ + AC′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = ABC + B′C′ + AC′

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 14) + d(11, 12, 15), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 14) + d(11, 12, 15)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 6,35 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/270 kΩ = 41,85 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 50·41,85 µA = 2,093 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 12 − 2,093 mA·2,7 kΩ = 6,35 V

Ответ

V_CE = 6,35 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_max = 177,3 Ω

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток в худшем случае

I_R = 20 + 2 = 22 mA

Наибольшее сопротивление

R_max = 3,9/0,022 = 177,3 Ω

Ответ

R_max = 177,3 Ω

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 2,456 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 4,7/1 = 5,7

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/5,7 = 2,456 V

Ответ

V_in,max = 2,456 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,9091 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 2,2 kΩ · 1 µF = 2,2 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −1/2,2 = −0,4545 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1·2/2,2 = −0,9091 V

Ответ

V_out = −0,9091 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 7,625 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Выразите время

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −11·ln(0,5) = 7,625 ms

Ответ

t = 7,625 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1909 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 12/47 = 0,2553 A

i(∞) = 12/(47 + 22) = 0,1739 A

τ = L/R = 220/69 = 3,188 ms

i(t) = 0,1739 + (0,2553 − 0,1739)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 0,1739 + (0,08141)·e^−5/3,188 = 0,1909 A

Ответ

i = 0,1909 A

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 2,317 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 5 + 2,769 = 7,769 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7,769 = 2,317 A

Ответ

I_R1 = 2,317 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,189 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 12,5 Ω

R₃ + 12,5 = 16,5 Ω

R₂ ∥ 16,5 = 7,857 Ω

R_eq = R₁ + 7,857 = 6 + 7,857 = 13,86 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/13,86 = 0,3608 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3608·6 = 2,835 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,835/15 = 0,189 A

Ответ

I_R2 = 0,189 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 9,136 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 36/48 = 0,75

Средний ток и пульсации тока

I_o = 36/4 = 9 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 12·0,75/(330·10⁻⁶·100·10³) = 0,2727 A

Пиковый ток

I_max = 9 + 0,2727/2 = 9,136 A

Ответ

I_max = 9,136 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 3,75 µH

Коэффициент заполнения

D = 8,4/12 = 0,7

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,7)·5/(2200·10³) = 3,75 µH

Ответ

L_crit = 3,75 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 13035 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 15·(250/370 − 250/650) = 4,366 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 234,9 Ω

Ток гальванометра

I_g = 4,366/(234,9 + 100) = 13035 µA

Ответ

I_g = 13035 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 24 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

2,5·12 = 30 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 30·800/1000 = 24 mV

Ответ

V_o = 24 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

ABC → m(7)

B′C′ → m(0, 4)

AC′ → m(4, 6)

Сгруппируйте и прочитайте

F = B′C′ + AB

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

CD, ABD′, A′B′C, ABC

Существенные простые импликанты

CD, A′B′C

N = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1