Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Светодиодов: 3 (зелёные), прямое напряжение 2,2 V у каждого; они соединены последовательно с резистором к источнику 9 V. Найдите сопротивление R, при котором ток равен 15 mA.

V_s = 9 VV_F = 2,2 Vn = 3I = 15 mA

R = Ω

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,65 V последовательно с 25 Ω (он проводит выше 0,65 V). Он включён последовательно с резистором 470 Ω к источнику 12 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 12 VR = 470 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 25 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 0,3 VV₂ = 1,8 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 1,8 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.

V_in = 1,8 VR = 1 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±13 V

t = ms

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 75% конечного значения? Найдите t.

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 8 V? Найдите t.

V_s = 5 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 24 V в 96 V при нагрузке 5 Ω. Найдите средний ток катушки I_L.

Vin = 24 VVo = 96 VR = 5 Ω

I_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 24 V в 6 V при 20 kHz и L = 150 µH. Найдите выходную ёмкость C, при которой размах пульсаций выходного напряжения ограничен 50 mV.

Vin = 24 VVo = 6 Vf = 20 kHzL = 150 µHΔV_o = 50 mV

C = µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 12 VR₁ = 40 ΩR₂ = 1000 ΩR₃ = 60 ΩR₄ = 150 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 5 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2,05, деформация — 200 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 5 VGF = 2,05ε = 200 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(9, 10, 13, 14, 15). Сколько всего литералов, L, она содержит (переменная со штрихом считается одним литералом)?

F(A, B, C, D) = Σm(9, 10, 13, 14, 15)

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный асинхронный счётчик построен на триггерах с задержкой распространения 20 ns у каждого. Все выходы должны установиться до следующего фронта тактового сигнала. Найдите максимальную тактовую частоту f_max.

n = 4t_pd = 20 ns

f_max = MHz

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: R = 160 Ω

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напряжение на резисторе

V_R = 9 − 3·2,2 = 2,4 V

Сопротивление

R = 2,4/0,015 = 160 Ω

Ответ

R = 160 Ω

Резистор рассеивает 36 mW.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 22,93 mA

Объедините два уравнения

12 = 0,65 + I·(470 + 25)

Рабочий ток

I_D = 11,35/495 = 22,93 mA

V_D = 0,65 + 0,02293·25 = 1,223 V

Ответ

I_D = 22,93 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 3,191 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,8·10/(4,7 + 10) = 1,224 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(0,3 − 1,224)/4,7 = (1,224 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/4,7)·(1,8 − 0,3) = 3,191 V

Ответ

V_out = 3,191 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: t = 0,7222 ms

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 1 kΩ · 0,1 µF = 0,1 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −1,8/0,1 = −18 V/ms

Время до насыщения

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 13·0,1/1,8 = 0,7222 ms

Ответ

t = 0,7222 ms

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,2039 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0,2941 A

Выразите время

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −0,1471·ln(0,25) = 0,2039 ms

Ответ

t = 0,2039 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 166,4 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 5 + (20 − 5)·e^−t/τ

Выразите время

8 = 5 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8 − 5)/(20 − 5) = 0,2

t = τ·ln((20 − 5)/(8 − 5)) = 103,4·ln(5) = 166,4 ms

Ответ

t = 166,4 ms

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 20,92 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8,919 Ω

R_eq = R₁ + 8,919 = 12 + 8,919 = 20,92 Ω

Ответ

R_eq = 20,92 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,6401 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 2,55 Ω

R₃ + 2,55 = 12,55 Ω

R₂ ∥ 12,55 = 4,059 Ω

R_eq = R₁ + 4,059 = 10 + 4,059 = 14,06 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,06 = 0,6401 A

Ответ

I_R1 = 0,6401 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_L = 76,8 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 24/96 = 0,75

Ток нагрузки

I_o = 96/5 = 19,2 A

Ток катушки

I_L = I_o/(1 − D) = 19,2/0,25 = 76,8 A

Ответ

I_L = 76,8 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: C = 187,5 µF

Коэффициент заполнения

D = 6/24 = 0,25

Пульсации тока катушки

ΔI_L = (24 − 6)·0,25/(150·10⁻⁶·20·10³) = 1,5 A

Ёмкость

C = 1,5/(8·20·10³·50·10⁻³) = 187,5 µF

Ответ

C = 187,5 µF

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 81,32 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 40·1000/1040 = 38,46 Ω

R₃∥R₄ = 60·150/210 = 42,86 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 81,32 Ω

Ответ

R_th = 81,32 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 2,05 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2,05·200·10⁻⁶ = 0,00041

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 5·0,00041 = 2,05 mV

Ответ

V_o = 2,05 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 9

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

AC′D

ACD′

ABD

Минимальная форма SOP

F = AC′D + ACD′ + ABD

L = 9

Ответ

L = 9

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: f_max = 12,5 MHz

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Наихудшее время установления

T = 4·20 ns = 80 ns

Максимальная частота

f_max = 1/80 ns = 12,5 MHz

Ответ

f_max = 12,5 MHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1