Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 5,1 V питается от 15 V через 270 Ω и питает нагрузку 470 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 15 VV_Z = 5,1 VR = 270 ΩR_L = 470 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,6 V последовательно с 5 Ω (он проводит выше 0,6 V). Он включён последовательно с резистором 1000 Ω к источнику 6 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 6 VR = 1000 ΩV₀ = 0,6 Vr_d = 5 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 2 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,9 VV₂ = 0,7 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 5 ms.

i(0) = 1,5 AR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 12 VR = 3,3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 30 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 12 V в −8 V при 25 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 12 VVo = −8 Vf = 25 kHzL = 100 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 15 V в 37,5 V при нагрузке 8 Ω и частоте 250 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = 37,5 Vf = 250 kHzR = 8 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th показанного моста со стороны выходных зажимов a и b.

V_s = 6 VR₁ = 120 ΩR₂ = 200 ΩR₃ = 300 ΩR₄ = 600 Ω

R_th = Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Датчик силы (полный мост из тензорезисторов) имеет номинальный выход 1,5 mV/V при номинальной нагрузке 100 kg. Напряжение питания — 12 V. Найдите его выход V_o при нагрузке 50 kg.

1,5 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 12 VF = 50 kg

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный счётчик Джонсона Q₃Q₂Q₁Q₀ начинает с 0000. По каждому фронту тактового сигнала биты сдвигаются на одну позицию вправо (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀), а Q₃ получает инверсию Q₀. Укажите состояние Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ в виде десятичного числа после 4 фронтов тактового сигнала.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00004

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 25,82 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 9,9/270 = 36,67 mA

Ток нагрузки

I_L = 5,1/470 = 10,85 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 36,67 − 10,85 = 25,82 mA

Ответ

I_Z = 25,82 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 5,373 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

6 = 0,6 + I·(1000 + 5)

Рабочий ток

I_D = 5,4/1005 = 5,373 mA

V_D = 0,6 + 0,005373·5 = 0,6269 V

Ответ

I_D = 5,373 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 0,28 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 100/2 = 50

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/50 = 0,28 V

Ответ

V_in,max = 0,28 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,3894 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,9/4,7 = −0,4043 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,7/47 = 0,01489 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,3894 mA

Ответ

I_f = −0,3894 mA

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 21,75 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms

Убывание тока

i(t) = 1,5·e^−5/3,235 = 0,3198 A

v_R = R·i = 68·0,3198 = 21,75 V

Ответ

v_R = 21,75 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 23,91 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 12 + (30 − 12)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(300) = 12 + (18)·e^−300/726 = 23,91 V

Ответ

v_C = 23,91 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,25 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 5 + 3 = 8 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8 = 1,25 A

Ответ

I_R1 = 1,25 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,031 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,974 Ω

R₃ + 8,974 = 23,97 Ω

R₂ ∥ 23,97 = 1,846 Ω

R_eq = R₁ + 1,846 = 25 + 1,846 = 26,85 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/26,85 = 1,117 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,117·25 = 2,063 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,063/2 = 1,031 A

Ответ

I_R2 = 1,031 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,92 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 8/(12 + 8) = 0,4

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 12 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 12·0,4/(100·10⁻⁶·25·10³) = 1,92 A

Ответ

ΔI_L = 1,92 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 1,536 µH

Коэффициент заполнения

D = 1 − 15/37,5 = 0,6

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = 0,6(1 − 0,6)²·8/(2250·10³) = 1,536 µH

Ответ

L_crit = 1,536 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: R_th = 275 Ω

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Источник замкнут накоротко

R₁∥R₂ = 120·200/320 = 75 Ω

R₃∥R₄ = 300·600/900 = 200 Ω

Сопротивление Тевенина

R_th = 275 Ω

Ответ

R_th = 275 Ω

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 9 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход при полной шкале

1,5·12 = 18 mV

Выход при этой нагрузке

V_o = 18·50/100 = 9 mV

Ответ

V_o = 9 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B′ + C′ + D)

(A + B′ + D)

(A′ + B + D′)

(A + B + C′)

Минимальная форма POS

F = (B′ + C′ + D)(A + B′ + D)(A′ + B + D′)(A + B + C′)

N = 4

Ответ

N = 4

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 15

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Состояние после каждого фронта

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111

Десятичное значение

1111₂ = 15

Ответ

Q = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1