Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 100 смещён резистором базы R_B = 390 kΩ от источника питания V_CC = 10 V. Резистор коллектора R_C = 3,3 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите ток коллектора I_C в mA.

V_CC = 10 VR_B = 390 kΩR_C = 3,3 kΩβ = 100V_BE = 0,7 V

I_C = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Стабилизатор на стабилитроне 3,3 V имеет последовательный резистор 470 Ω. Входное напряжение может подниматься до 15 V, а нагрузка может быть отключена. Найдите наибольшую мощность P_Z,max, которую должен рассеивать стабилитрон.

V_in,max = 15 VV_Z = 3,3 VR = 470 Ω

P_Z,max = mW

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 10.

R₁ = 4,7 kΩA_v = 10

R_f = kΩ

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,8 VV₂ = 1,6 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 250 ms.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 3 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 90 V при 500 kHz и L = 68 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 36 VVo = 90 Vf = 500 kHzL = 68 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 90 V при нагрузке 20 Ω и частоте 200 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 36 VVo = 90 Vf = 200 kHzR = 20 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Тензорезистор 350 Ω — одно из плеч (R₂) моста с четырьмя равными плечами по 350 Ω и напряжением питания 6 V. Найдите мощность P_g, рассеиваемую в тензорезисторе, в mW. Самонагрев ограничивает напряжение питания.

V_s = 6 VR = 350 Ω

P_g = mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 1000 Ω питается напряжением 5 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 500 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 5 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C) = Σm(1, 4, 5). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(1, 4, 5)

N =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Синхронный счётчик по модулю 9 считает 0, 1, …, 8, а затем возвращается к 0. Он начинает с 4. Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 11 тактовых импульсов?

Q₀ = 411N = 9

Q =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_C = 2,385 mA

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (10 − 0,7)/390 kΩ = 23,85 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 100·23,85 µA = 2,385 mA

Ответ

I_C = 2,385 mA

Проверка: V_CE = 2,131 V заметно больше 0,2 V, значит, транзистор действительно в активном режиме.

2.Диоды и транзисторы

Ответ: P_Z,max = 82,15 mW

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток стабилитрона в худшем случае

I_Z = 11,7/470 = 24,89 mA

Мощность стабилитрона

P_Z = 3,3·24,89 = 82,15 mW

Ответ

P_Z,max = 82,15 mW

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 42,3 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (10 − 1)·4,7 = 42,3 kΩ

Ответ

R_f = 42,3 kΩ

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = 0,417 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,8/4,7 = −0,383 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,6/2 = 0,8 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,417 mA

Ответ

I_f = 0,417 mA

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1947 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,24·(1 − e^−5/3) = 0,1947 A

Ответ

i = 0,1947 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,376 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 10 + (3 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(250) = 10 + (−7)·e^−250/103,4 = 9,376 V

Ответ

v_C = 9,376 V

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,1 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω

R_eq = R₁ + 7,097 = 10 + 7,097 = 17,1 Ω

Ответ

R_eq = 17,1 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 14,48 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 10 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 12,73 Ω

R₃ + 12,73 = 17,73 Ω

R₂ ∥ 17,73 = 4,483 Ω

R_eq = R₁ + 4,483 = 10 + 4,483 = 14,48 Ω

Ответ

R_eq = 14,48 Ω

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 0,6353 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 36/90 = 0,6

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 36 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 36·0,6/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0,6353 A

Ответ

ΔI_L = 0,6353 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 4,8 µH

Коэффициент заполнения

D = 1 − 36/90 = 0,6

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = 0,6(1 − 0,6)²·20/(2200·10³) = 4,8 µH

Ответ

L_crit = 4,8 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: P_g = 25,71 mW

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение на тензорезисторе

V = 6/2 = 3 V

Мощность

P_g = 3²/350 = 25,71 mW

Ответ

P_g = 25,71 mW

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 5 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 5·0,001 = 5 mV

Ответ

V_o = 5 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

B′

(A + C)

Минимальная форма POS

F = B′(A + C)

N = 2

Ответ

N = 2

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 6

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 9 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

11 = 1·9 + 2

Значение после оставшихся импульсов

Q = (4 + 2) mod 9 = 6

Q = 0110₂

Ответ

Q = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1