Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

Стабилизатор на стабилитроне 5,6 V питается от 15 V через 270 Ω и питает нагрузку 680 Ω. Найдите ток стабилитрона I_Z.

V_in = 15 VV_Z = 5,6 VR = 270 ΩR_L = 680 Ω

I_Z = mA

2.Диоды и транзисторыСложная

Диод моделируется напряжением 0,6 V последовательно с 5 Ω (он проводит выше 0,6 V). Он включён последовательно с резистором 330 Ω к источнику 5 V. Найдите рабочий ток I_D в точке пересечения характеристики диода и нагрузочной прямой.

V_s = 5 VR = 330 ΩV₀ = 0,6 Vr_d = 5 Ω

I_D = mA

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 2,9 VV₂ = 1,8 VR₁ = R₃ = 4,7 kΩR₂ = R₄ = 47 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −1,9 VV₂ = 1,5 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 2 kΩ

V_out = V

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 20 ms, в mJ.

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 47 mHt = 20 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,5 V, ровно через 1000 ms после старта. При C = 100 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 1000 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Понижающий преобразователь преобразует 15 V в 4,5 V при нагрузке 2 Ω. Он переключается с частотой 500 kHz при L = 33 µH. Найдите пиковый ток катушки I_max.

Vin = 15 VVo = 4,5 Vf = 500 kHzL = 33 µHR = 2 Ω

I_max = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Понижающий преобразователь преобразует 48 V в 36 V при 100 kHz и L = 150 µH. Найдите наименьший ток нагрузки I_o,min, при котором он остаётся в режиме непрерывного тока.

Vin = 48 VVo = 36 Vf = 100 kHzL = 150 µH

I_o,min = A

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Мост имеет четыре плеча по 250 Ω и V_s = 12 V. Датчик R₂ увеличивается на ΔR = 20 Ω. Найдите точный выход V_ab в mV.

V_s = 12 VR = 250 ΩΔR = 20 Ω

V_ab = mV

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Четвертьмост (один активный тензорезистор, GF = 2) питается напряжением 2,5 V. Наибольшая измеряемая деформация составляет 1000 µε, и она должна давать 2,5 V на входе аналого-цифрового преобразователя. Найдите коэффициент усиления усилителя G.

V_s = 2,5 VGF = 2ε_max = 1000 µεV_FS = 2,5 V

G =

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(4, 7, 9, 13, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 10, 13, 14, 15) + d(1, 3, 6, 7, 12), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 10, 13, 14, 15) + d(1, 3, 6, 7, 12)

N =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: I_Z = 26,58 mA

Стабилизатор на стабилитроне: стабилитрон, включённый в обратном направлении, удерживает напряжение V_Z, пока его ток остаётся выше минимума I_Z,min. Последовательный резистор R берёт на себя разность между входным и выходным напряжением: I_R = (V_in − V_Z)/R. Этот ток делится между нагрузкой, I_L = V_Z/R_L, и стабилитроном: I_Z = I_R − I_L. Проектируйте для худших случаев: при наименьшем входном напряжении и наибольшей нагрузке должен оставаться ток I_Z,min, а при наибольшем входном напряжении без нагрузки получается наибольшая мощность стабилитрона P_Z = V_Z·I_Z.

Ток резистора

I_R = 9,4/270 = 34,81 mA

Ток нагрузки

I_L = 5,6/680 = 8,235 mA

Ток стабилитрона

I_Z = 34,81 − 8,235 = 26,58 mA

Ответ

I_Z = 26,58 mA

2.Диоды и транзисторы

Ответ: I_D = 13,13 mA

Цепи со светодиодами и диодами: светодиод в прямом включении падает примерно на своё прямое напряжение V_F (около 2 V для красного, 3 V для синего или белого) независимо от тока. Последовательный резистор задаёт ток: R = (V_s − n·V_F)/I для n светодиодов последовательно. В более точной модели диода V = V₀ + I·r_d рабочая точка находится там, где характеристика диода пересекает нагрузочную прямую I = (V_s − V)/R, поэтому I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Объедините два уравнения

5 = 0,6 + I·(330 + 5)

Рабочий ток

I_D = 4,4/335 = 13,13 mA

V_D = 0,6 + 0,01313·5 = 0,6657 V

Ответ

I_D = 13,13 mA

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −11 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,8·47/(4,7 + 47) = 1,636 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(2,9 − 1,636)/4,7 = (1,636 − V_out)/47

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (47/4,7)·(1,8 − 2,9) = −11 V

Ответ

V_out = −11 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 1,878 V

Напряжение на входе +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·2/(2 + 2) = 0,75 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

V_out = −(2/4,7)·(−1,9) + (1 + 2/4,7)·0,75 = 0,8085 + 1,069 = 1,878 V

Ответ

V_out = 1,878 V

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 164,1 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9,4 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

Ток в заданный момент

i(t) = 3·(1 − e^−20/9,4) = 2,643 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·47·2,643² = 164,1 mJ

Ответ

W = 164,1 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 14,43 kΩ

Требуемая постоянная времени

7,5 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 1000/0,6931 = 1443 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 1443/100 = 14,43 kΩ

Ответ

R = 14,43 kΩ

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,186 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω

R_eq = R₁ + 7,742 = 20 + 7,742 = 27,74 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,74 = 0,3605 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3605·20 = 2,791 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,791/15 = 0,186 A

Ответ

I_R2 = 0,186 A

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,7534 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 2,308 Ω

R₃ + 2,308 = 10,31 Ω

R₂ ∥ 10,31 = 1,675 Ω

R_eq = R₁ + 1,675 = 15 + 1,675 = 16,68 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,68 = 0,8996 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,8996·15 = 1,507 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,507/2 = 0,7534 A

Ответ

I_R2 = 0,7534 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_max = 2,345 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 4,5/15 = 0,3

Средний ток и пульсации тока

I_o = 4,5/2 = 2,25 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 10,5·0,3/(33·10⁻⁶·500·10³) = 0,1909 A

Пиковый ток

I_max = 2,25 + 0,1909/2 = 2,345 A

Ответ

I_max = 2,345 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: I_o,min = 0,3 A

Коэффициент заполнения

D = 36/48 = 0,75

Пульсации тока

ΔI_L = 36·0,25/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0,6 A

Граничный ток нагрузки

I_o,min = ΔI_L/2 = 0,3 A

Ответ

I_o,min = 0,3 A

Ниже этого тока преобразователь переходит в режим прерывистого тока, и V_o поднимается выше D·V_in.

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_ab = 230,8 mV

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжения узлов

V_a = 12·270/520 = 6,231 V

V_b = 6 V

Выделение

V_ab = 230,8 mV

Ответ

V_ab = 230,8 mV

Линейная оценка V_s·ΔR/(4R) = 240 mV завышена на 4 %: четвертьмост не совсем линеен.

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: G = 2000

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Выход моста при полной шкале

V_o = 1,25 mV

Коэффициент усиления

G = 2,5/0,00125 = 2000

Ответ

G = 2000

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 01, CD = 00

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m4: m5, m6, m0, m12 → 0

Изолированная единица

m4 = A′BC′D′ → AB = 01, CD = 00

Ответ

AB = 01, CD = 00

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

BD, BC, A′D, ACD′, AB, A′B′C′

Существенные простые импликанты

ACD′, A′B′C′

N = 2

Ответ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1