Электроника 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Диоды и транзисторы

Диод (постоянное падение напряжения): V_D = 0,7 V when conducting
Активный режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фиксированное смещение: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Смещение делителем напряжения: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Эквивалент Тевенена для делителя: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Контур коллектора: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насыщение: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Преобразователи постоянного напряжения

Понижающий: V_o = D·V_in
Повышающий: V_o = V_in/(1 − D)
Инвертирующий понижающе-повышающий: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Идеальный баланс мощности: V_inI_in = V_oI_o
Пульсации тока катушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Средний ток катушки: понижающий I_o; повышающий и понижающе-повышающий I_o/(1 − D)
Пульсации выходного напряжения: понижающий ΔI_L/(8fC); повышающий и понижающе-повышающий I_o·D/(fC)
Граница режима непрерывного тока: понижающий (1 − D)R/(2f); повышающий D(1 − D)²R/(2f); понижающе-повышающий (1 − D)²R/(2f)

Метод

Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔI_L/2.

Мост Уитстона и тензорезисторы

Напряжения делителей: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Выделение: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордный мост: R/R_x = l/(100 − l)
Сопротивление Тевенина: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коэффициент тензочувствительности: ΔR/R = GF·ε
Выход моста: четвертьмост V_s·GF·ε/4, полумост V_s·GF·ε/2, полный мост V_s·GF·ε
Малое изменение, одно плечо: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напряжение: σ = E·ε

Метод

Рассматривайте мост как два делителя напряжения от одного источника.
Для равновесия приравняйте R₁/R₂ = R₃/R₄ и найдите неизвестный резистор.
Для неуравновешенного моста найдите V_a и V_b по делителям и вычтите; используйте эквивалент Тевенина, когда прибор нагружает выход.
Для тензорезисторов переведите деформацию в ΔR/R = GF·ε и используйте V_s·GF·ε/4, /2 или ×1 для четвертьмоста, полумоста или полного моста.

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

2Тренировочные задачи

1.Диоды и транзисторыСредняя

NPN-транзистор с β = 120 смещён резистором базы R_B = 680 kΩ от источника питания V_CC = 12 V. Резистор коллектора R_C = 4,7 kΩ, эмиттер заземлён. Примите V_BE = 0,7 V и считайте, что транзистор работает в активном режиме. Найдите напряжение коллектор–эмиттер V_CE.

V_CC = 12 VR_B = 680 kΩR_C = 4,7 kΩβ = 120V_BE = 0,7 V

V_CE = V

2.Диоды и транзисторыСложная

NPN-транзистор с β = 100 коммутирует нагрузочный резистор 470 Ω, включённый между V_CC = 9 V и его коллектором. Эмиттер заземлён. База управляется от логического выхода 5 V через резистор базы R_B. Примите V_BE = 0,7 V и V_CE(sat) = 0,2 V. Для надёжного переключения рассчитайте ток базы в 2 раз больше минимального, нужного для насыщения. Найдите R_B в kΩ.

V_CC = 9 VR_C = 470 Ωβ = 100V_in = 5 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vкоэффициент запаса = 2

R_B = kΩ

3.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −0,6 VR₁ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = −0,9 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.

V_in = −0,9 VR = 1 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±12 V

t = ms

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

V_s = 10 VR = 5 ΩL = 68 mH

W(∞) = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,2 V, ровно через 100 ms после старта. При R = 1 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 100 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

8.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.Преобразователи постоянного напряженияСредняя

Идеальный повышающий преобразователь преобразует 48 V в 120 V при 100 kHz и L = 220 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔI_L.

Vin = 48 VVo = 120 Vf = 100 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.Преобразователи постоянного напряженияСложная

Идеальный понижающий преобразователь преобразует 15 V в 10,5 V при нагрузке 4 Ω и частоте 500 kHz. Найдите наименьшую индуктивность L_crit для режима непрерывного тока.

Vin = 15 VVo = 10,5 Vf = 500 kHzR = 4 Ω

L_crit = µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторыСредняя

Гальванометр с сопротивлением 20 Ω включён между a и b показанного моста (V_s = 3 V). Найдите ток гальванометра I_g от a к b в µA.

V_s = 3 VR₁ = 10 ΩR₂ = 800 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 400 ΩR_g = 20 Ω

I_g = µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторыСложная

Мост с плечами 120 Ω питается напряжением 2,5 V; конфигурация: четыре активных тензорезистора, два на растяжение и два на сжатие (полный мост). Коэффициент тензочувствительности равен 2, деформация — 500 µε. Найдите выход моста V_o в mV.

V_s = 2,5 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = ABC + ABC′ + A′B′C до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = ABC + ABC′ + A′B′C

L =

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 11) + d(4, 7, 8, 9, 13), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 11) + d(4, 7, 8, 9, 13)

L =

3Растворы

1.Диоды и транзисторы

Ответ: V_CE = 2,628 V

Рабочая точка биполярного транзистора: в активном режиме V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B и I_E = (β + 1)·I_B. Найдите I_B из базового контура по второму закону Кирхгофа, затем I_C, затем V_CE из контура коллектор–эмиттер. Делитель напряжения в цепи базы заменяют эквивалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; резистор в цепи эмиттера в базовом контуре выглядит в (β + 1) раз больше.

Ток базы

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/680 kΩ = 16,62 µA

Ток коллектора

I_C = β·I_B = 120·16,62 µA = 1,994 mA

Напряжение коллектор–эмиттер

V_CE = 12 − 1,994 mA·4,7 kΩ = 2,628 V

Ответ

V_CE = 2,628 V

2.Диоды и транзисторы

Ответ: R_B = 11,48 kΩ

Биполярный транзистор как ключ: чтобы полностью включить нагрузку, транзистор вводят в насыщение, где V_CE = V_CE(sat), а ток коллектора определяется нагрузкой: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насыщения нужен ток базы не менее I_B = I_C(sat)/β. Если ток базы меньше, транзистор остаётся в активном режиме, и I_C = β·I_B.

Ток коллектора в насыщении

I_C(sat) = (9 − 0,2)/470 = 18,72 mA

Минимальный ток базы

I_B(min) = I_C(sat)/β = 18,72/100 = 187,2 µA

Расчётный ток базы

I_B = 2·187,2 µA = 374,5 µA

Резистор базы

R_B = (5 − 0,7)/I_B = 4,3 V/0,3745 mA = 11,48 kΩ

Ответ

R_B = 11,48 kΩ

3.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −7,2 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −0,6 V

I = V₋/R₁ = −0,6/2 = −0,3 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −0,6 + (−0,3)·22 = −7,2 V

Ответ

V_out = −7,2 V

4.Схемы на операционных усилителях

Ответ: t = 6,267 ms

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 1 kΩ · 0,47 µF = 0,47 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −(−0,9)/0,47 = 1,915 V/ms

Время до насыщения

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·0,47/0,9 = 6,267 ms

Ответ

t = 6,267 ms

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 136 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 5 Ω = 13,6 ms

i(∞) = V_s/R = 10/5 = 2 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·2² = 136 mJ

Ответ

W(∞) = 136 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 62,13 µF

Требуемая постоянная времени

7,2 = 9·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 100/1,609 = 62,13 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 62,13/1 = 62,13 µF

Ответ

C = 62,13 µF

7.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 28,57 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 20 + 8,571 = 28,57 Ω

Ответ

R_eq = 28,57 Ω

8.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,1311 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 7,778 Ω

R₃ + 7,778 = 9,778 Ω

R₂ ∥ 9,778 = 1,66 Ω

R_eq = R₁ + 1,66 = 30 + 1,66 = 31,66 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/31,66 = 0,1579 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,1579·30 = 0,2622 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,2622/2 = 0,1311 A

Ответ

I_R2 = 0,1311 A

9.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: ΔI_L = 1,309 A

Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий V_o = D·V_in, повышающий V_o = V_in/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |V_o| = V_in·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: V_in·I_in = V_o·I_o. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔI_L = V_L·D·T/L, где V_L = V_in − V_o для понижающего и V_in для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для понижающего и I_o·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔI_L/2.

Коэффициент заполнения

D = 1 − 48/120 = 0,6

Напряжение на катушке во время включения

Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением V_in.

V_L = 48 V

Пульсации тока

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 48·0,6/(220·10⁻⁶·100·10³) = 1,309 A

Ответ

ΔI_L = 1,309 A

10.Преобразователи постоянного напряжения

Ответ: L_crit = 1,2 µH

Коэффициент заполнения

D = 10,5/15 = 0,7

Граничное условие

Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критическая индуктивность

L_crit = (1 − 0,7)·4/(2500·10³) = 1,2 µH

Ответ

L_crit = 1,2 µH

11.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: I_g = 5363 µA

Мост Уитстона: два делителя напряжения питаются от одного источника V_s. Левый делитель R₁–R₂ даёт V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правый делитель R₃–R₄ даёт V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); выход равен V_ab = V_a − V_b. Мост уравновешен (V_ab = 0, ток через прибор отсутствует), когда R₁/R₂ = R₃/R₄, то есть R₁·R₄ = R₂·R₃. Со стороны выхода мост — это источник Тевенина с R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напряжение Тевенина

V_th = 3·(800/810 − 400/520) = 0,6553 V

Сопротивление Тевенина

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 102,2 Ω

Ток гальванометра

I_g = 0,6553/(102,2 + 20) = 5363 µA

Ответ

I_g = 5363 µA

12.Мост Уитстона и тензорезисторы

Ответ: V_o = 2,5 mV

Тензорезисторы: тензорезистор изменяет своё сопротивление при деформации: ΔR/R = GF·ε, где коэффициент тензочувствительности GF для металлической фольги около 2. В мосту, все плечи которого равны R, один активный тензорезистор (четвертьмост) даёт V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активных тензорезистора с противоположными деформациями в соседних плечах (полумост) дают V_s·GF·ε/2, а четыре (полный мост) — V_s·GF·ε. Напряжение находится по закону Гука, σ = E·ε. Тензометрические датчики силы указывают чувствительность в mV/V: выход при полной нагрузке на каждый вольт питания.

Относительное изменение сопротивления

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Выход моста

V_o = V_s·GF·ε = 2,5·0,001 = 2,5 mV

Ответ

V_o = 2,5 mV

13.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 5

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

ABC → m(7)

ABC′ → m(6)

A′B′C → m(1)

Сгруппируйте и прочитайте

F = AB + A′B′C

Посчитайте литералы

L = 5

Ответ

L = 5

14.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 5

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

C′D, B′C′, A′C′, A′BD, AB′D

Минимальное покрытие

F = A′C′ + AB′D

L = 5

Ответ

L = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1