Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 10 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 150 mm до 75 mm. Давление в узком сечении равно 90 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 10 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 25 mm и поднимается на 3 m. В сечении 1 давление 210 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,3 m/s по горизонтальной трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,3 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 24 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sH = 24 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 15 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 900 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 4,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 9 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9 m³/sb = 4,5 my = 0,8 mz = 2n = 0,015

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 82,77 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Ответ

F = 82,77 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,939 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,953/(2,75·3,75) = 2,939 m

Ответ

y_cp = 2,939 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 92,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,01/0,004418 = 2,264 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(2,264² − 0,5659²)/1000 = 90 + 2,402 = 92,4 kPa

Ответ

p₁ = 92,4 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 108,9 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/25)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−71,72) − 29,43 = 108,9 kPa

Ответ

p₂ = 108,9 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 42,25 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,3)·1,3²/(2·9,81) = 4,307 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,307 = 42250 Pa = 42,25 kPa

Ответ

Δp = 42,25 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 5,092 m

Скорость

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Полная потеря напора

h_f = 6·0,4759 = 2,856 m

h_m = 4,7·0,4759 = 2,237 m

Δz = h_f + h_m = 5,092 m

Ответ

Δz = 5,092 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 6,925 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·24 = 5,886 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 5,886/0,85 = 6,925 kW

Ответ

P_shaft = 6,925 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 17,06 m

Скорость

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,1859 = 7,065 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 10 + 7,065 = 17,06 m

Ответ

H = 17,06 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,145 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,6362 m², R = D/4 = 0,225 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,004^1/2 = 1,8 m/s

Расход

Q = A·V = 0,6362·1,8 = 1,145 m³/s

Ответ

Q = 1,145 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001498 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·0,8)·0,8 = 4,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 8,078 m

R = A/P = 0,6041 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·9/(4,88·0,7146) = 0,03871

S = 0,03871² = 0,001498

Ответ

S = 0,001498

Это понижение на 1,498 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering