Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 150 mm и диаметром горловины 75 mm. Давление на входе на 36 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 25 mm и поднимается на 3 m. В сечении 1 давление 310 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 310 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,8 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,8 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 21 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 21 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 20 m. КПД насоса 78%, а КПД приводящего его электродвигателя 95%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 40 L/sH = 20 mη_pump = 78%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 2 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2 my = 2,5 mz = 3n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (гравий) шириной 4 m должен пропускать 4,4 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,4 m³/sb = 4 my = 1,1 mn = 0,025

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 264,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN

Ответ

F = 264,9 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,25 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m

Ответ

y_cp = 3,25 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 38,72 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,764 m/s

v₁ = 2,191 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,004418·8,764 = 0,03872 m³/s = 38,72 L/s

Ответ

Q = 38,72 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 248,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−31,88) − 29,43 = 248,7 kPa

Ответ

p₂ = 248,7 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 4,86 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,3)·1,8²/(2·9,81) = 0,4954 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,4954 = 4860 Pa = 4,86 kPa

Ответ

Δp = 4,86 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 32,27 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

21 = (20 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/24,4) = 4,109 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,109·0,007854 = 0,03227 m³/s = 32,27 L/s

Ответ

Q = 32,27 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 10,59 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·20 = 7,848 kW

Мощность на валу

P_shaft = 7,848/0,78 = 10,06 kW

Электрическая мощность

P_el = 10,06/0,95 = 10,59 kW

Ответ

P_el = 10,59 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 37,07 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,1291 = 2,582 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 25,48 + 2,582 = 37,07 m

Ответ

H = 37,07 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 112,6 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2 + 3·2,5)·2,5 = 23,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2,5·√(1 + 3²) = 17,81 m

R = A/P = 1,333 m

Скорость

V = (1/0,014)·1,333^2/3·0,003^1/2 = 4,74 m/s

Расход

Q = A·V = 23,75·4,74 = 112,6 m³/s

Ответ

Q = 112,6 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0009873 m/m

Геометрия

A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m

R = A/P = 0,7097 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·4,4/(4,4·0,7956) = 0,03142

S = 0,03142² = 0,0009873

Ответ

S = 0,0009873

Это понижение на 0,9873 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering