Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 300 mm и диаметром горловины 150 mm. Давление на входе на 45 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 45 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 200 mm, горловина 100 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 90 mm. Коэффициент расхода равен 0,98. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 90 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,5 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,5 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 78% подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 48 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sH = 48 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 3 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 0,8 mz = 3n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (гравий) шириной 2 m должен пропускать 3,6 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,6 m³/sb = 2 my = 1,1 mn = 0,025

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 44,15 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Ответ

F = 44,15 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 497,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,5·9 = 497,7 kN

Ответ

F = 497,7 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 173,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·45000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,798 m/s

v₁ = 2,449 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,01767·9,798 = 0,1731 m³/s = 173,1 L/s

Ответ

Q = 173,1 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 37,5 L/s

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,09 = 11125 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·11125/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,872 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,007854·4,872 = 0,0375 m³/s = 37,5 L/s

Ответ

Q = 37,5 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 93,75 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,15)·1,5²/(2·9,81) = 9,557 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·9,557 = 93750 Pa = 93,75 kPa

Ответ

Δp = 93,75 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 13,27 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Полная потеря напора

h_f = 18·0,5164 = 9,296 m

h_m = 7,7·0,5164 = 3,976 m

Δz = h_f + h_m = 13,27 m

Ответ

Δz = 13,27 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 12,07 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·48 = 9,418 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 9,418/0,78 = 12,07 kW

Ответ

P_shaft = 12,07 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 11,74 kW

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,2611 = 12,53 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 9 + 12,53 = 21,53 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·21,53/0,72 = 11,74 kW

Ответ

P_shaft = 11,74 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 5,759 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·0,8)·0,8 = 4,32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,8·√(1 + 3²) = 8,06 m

R = A/P = 0,536 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,536^2/3·0,0008^1/2 = 1,333 m/s

Расход

Q = A·V = 4,32·1,333 = 5,759 m³/s

Ответ

Q = 5,759 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003963 m/m

Геометрия

A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m

R = A/P = 0,5238 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,6/(2,2·0,6498) = 0,06296

S = 0,06296² = 0,003963

Ответ

S = 0,003963

Это понижение на 3,963 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering