Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в аэродинамической трубе показывает разность 400 Pa между давлением торможения и статическим давлением. Плотность воздуха 1,2 kg/m³. Найдите скорость воздуха v.

p₀ − p = 400 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm и поднимается на 8 m. В сечении 1 давление 350 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 350 kPav₁ = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 15 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 15 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 82% подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 52 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sH = 52 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 3 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 3

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (гравий) имеет ширину 2 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2 my = 1 mn = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 4 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 9,8 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9,8 m³/sb = 4 my = 1,2 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 49,66 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Ответ

F = 49,66 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 129,8 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·3 = 129,8 kN

Ответ

F = 129,8 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 25,82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·400/1,2) = 25,82 m/s

Ответ

v = 25,82 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 270,4 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/75)² = 1,778 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 1,778²)/1000 = −1,08 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−1,08) − 78,48 = 270,4 kPa

Ответ

p₂ = 270,4 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 20,17 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,3)·1,1²/(2·9,81) = 2,056 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,056 = 20167 Pa = 20,17 kPa

Ответ

Δp = 20,17 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 59,42 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

15 = (13,33 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·15/26,03) = 3,362 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,362·0,01767 = 0,05942 m³/s = 59,42 L/s

Ответ

Q = 59,42 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 31,1 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·52 = 25,51 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 25,51/0,82 = 31,1 kW

Ответ

P_shaft = 31,1 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 10,87 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 3)·0,2115 = 4,865 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 6 + 4,865 = 10,87 m

Ответ

H = 10,87 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,952 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2·1 = 2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1 = 4 m

R = A/P = 0,5 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,5^2/3·0,0015^1/2 = 0,9759 m/s

Расход

Q = A·V = 2·0,9759 = 1,952 m³/s

Ответ

Q = 1,952 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001497 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,2)·1,2 = 6,24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 7,394 m

R = A/P = 0,8439 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·9,8/(6,24·0,893) = 0,03869

S = 0,03869² = 0,001497

Ответ

S = 0,001497

Это понижение на 1,497 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering