Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в водопроводной трубе показывает разность 30 kPa между давлением торможения и статическим давлением. Найдите скорость воды v у носика трубки.

p₀ − p = 30 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 25 mm и поднимается на 7 m. В сечении 1 давление 170 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 5 L/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 5 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 12 m, а мощность на его валу 8,6 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 60 L/sH = 12 mP_shaft = 8,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (чистый грунт) имеет ширину 1,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1,5 my = 1 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,6 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 121,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Ответ

F = 121,4 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,111 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·6 = 181 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2/(3·6) = 3,111 m

Ответ

y_cp = 3,111 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 7,746 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·30000/1000) = 7,746 m/s

Ответ

v = 7,746 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 38,83 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/25)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−62,5) − 68,67 = 38,83 kPa

Ответ

p₂ = 38,83 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 15,67 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 15,67 m

Ответ

h_f = 15,67 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 15,7 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Полная потеря напора

h_f = 18·0,5164 = 9,296 m

h_m = 12,4·0,5164 = 6,404 m

Δz = h_f + h_m = 15,7 m

Ответ

Δz = 15,7 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 82,13 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·12 = 7,063 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 7,063/8,6 = 82,13%

Ответ

η = 82,13%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 25,67 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3046 = 17,67 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 8 + 17,67 = 25,67 m

Ответ

H = 25,67 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,096 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1,5·1 = 1,5 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1 = 3,5 m

R = A/P = 0,4286 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,4286^2/3·0,0008^1/2 = 0,7308 m/s

Расход

Q = A·V = 1,5·0,7308 = 1,096 m³/s

Ответ

Q = 1,096 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001924 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Ответ

S = 0,001924

Это понижение на 1,924 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering